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RESEARCH PRODUCT

homogeneous embeddings of SL2(C) modulo a finite sub-group.

subject

description

L'objet de ce travail est l'étude des variétés algébriques normales complexes munies d'une action algébrique de $SL_{2}$ et qui contiennent $SL_{2}/H$ comme orbite ouverte, $H$ étant un sous-groupe fini de $SL_{2}$.Plus précisément on définit un plongement homogène de $SL_{2}/H$ comme la donnée d'une $SL_{2}$-variété irréductible $X$ (quasi-projective ou non) contenant $SL_{2}/H$ comme orbite ouverte et d'un morphisme $SL_{2}$-équivariant de $SL_{2}$ dans $X$.Les plongements homogènes lisses ainsi que les plongements minimaux (plongements lisses et complets qui ne sont pas des éclatements d'un autre plongement lisse complet) de $SL_{2}/\{Id\}$ et de $SL_{2}/\{\pm Id\}$ ont été déterminés par Lucy Moser dans sa thèse dans le cadre de la classification de Luna-Vust de tous les plongements homogènes normaux de $SL_{2}/H$. L'objet du présent travail est de compléter ces résultats en déterminant les plongements homogènes lisses de $SL_{2}/H$ et les plongements minimaux pour les sous-groupes finis $H$ de $SL_{2}$ autres que $\{Id\}$ et $\{\pm Id\}$. Dans le cas particulier des plongements minimaux projectifs on retrouve les résultats de Tetsuo Nakano. En utilisant des résultats d'Alessandra Iozzi et Jonathan Poritz sur la normalité de la fermeture d'une $SL_{2}$-orbite quelconque de $\left(\mathbb{P}^{1}\right)^{n}$ et sur le groupe de ses $SL_{2}$-automorphismes on donne une description géométrique différente de celle de Nakano pour certains des plongements minimaux projectifs. Plus généralement on décrit de cette façon tous les plongements projectifs de $SL_{2}/H$, $H$ d'ordre pair, qui contiennent exactement une orbite de dimension 1. On établit un critère de quasi-projectivité pour un plongement homogène quelconque de $SL_{2}/H,$ critère qui permet en particulier de vérifier l'existence d'un plongement minimal non projectif dans le cas $H$ cyclique.