6533b871fe1ef96bd12d0e29

RESEARCH PRODUCT

Estimates of maximal functions measuring local smoothness

subject

description

Letη be a nondecreasing function on (0, 1] such thatη(t)/t decreases andη(+0)=0. Letf ∈L(I n ) (I≡[0,1]. Set $${\mathcal{N}}_\eta f(x) = \sup \frac{1}{{\left| Q \right|\eta (\left| Q \right|^{1/n} )}} \smallint _Q \left| {f(t) - f(x)} \right|dt,$$ , where the supremum is taken over all cubes containing the pointx. Forη=t α (0<α≤1) this definition was given by A.Calderon. In the paper we prove estimates of the maximal functions $${\mathcal{N}}_\eta f$$ , along with some embedding theorems. In particular, we prove the following Sobolev type inequality: if $$1 \leqslant p< q< \infty , \theta \equiv n(1/p - 1/q)< 1, and \eta (t) \leqslant t^\theta \sigma (t),$$ , then $$\parallel {\mathcal{N}}_\sigma {f} {\parallel_{q,p}} \leqslant c \parallel {\mathcal{N}}_\eta {f} {\parallel_p} .$$ . Furthermore, we obtain estimates of $${\mathcal{N}}_\eta f$$ in terms of theL p -modulus of continuity off. We find sharp conditions for $${\mathcal{N}}_\eta f$$ to belong toL p (I n ) and the Orlicz classϕ(L), too. Пустьη-неубываюшая функция на (0,1] такая, чтоη(t)/t убывает иη(+0)=0. Пустьf ∈L(I n ) (I≡[0,1]). Положим $${\mathcal{N}}_\eta f(x) = \sup \frac{1}{{\left| Q \right|\eta (\left| Q \right|^{1/n} )}} \smallint _Q \left| {f(t) - f(x)} \right|dt,$$ где верхняя грань берется по всем кубам, содержашим точкуx. Дляη=t α (0<α<1) Это определение было дано А. Кальдероном. В статье иэучаются оценки максимальных функций $${\mathcal{N}}_\eta f$$ , а также некоторые теоремы вложения. Докаэываются неравенства типа Соболева: если $$1 \leqslant p< q< \infty , \theta \equiv n(1/p - 1/q)< 1, and \eta (t) \leqslant t^\theta \sigma (t),$$ , то $$\parallel {\mathcal{N}}_\sigma f {\parallel_{q,p}} \leqslant c \parallel {\mathcal{N}}_\eta f {\parallel_p} .$$ Далее, получены оценки $${\mathcal{N}}_\eta f$$ в терминахL p -модуля непрерывностиf. Найдены точные условия для принадлежности $${\mathcal{N}}_\eta f$$ пространствамL q (I n ) и классамϕ(L).