0000000000708129
AUTHOR
Martti Rasimus
Quasisymmetric Koebe uniformization with weak metric doubling measures
We give a characterization of metric spaces quasisymmetrically equivalent to a finitely connected circle domain. This result generalizes the uniformization of Ahlfors 2-regular spaces by Merenkov and Wildrick. peerReviewed
Äärellisen väännön kuvaukset : diskreettisyys ja avoimuus
Tämän tutkielman tarkoituksena on tarkastella äärellisen väännön kuvauksia euklidisissa avaruuksissa, erityisesti niiden diskreettisyyttä ja avoimuutta. Äärellisen väännön kuvaukset ovat yleistys kvasisäännöllisistä kuvauksista, jotka molemmat määritellään käyttämällä vääntöepäyhtälöä. Kvasisäännöllisille eli rajoitetun väännön kuvauksille voimassa olevat tulokset jatkuvuudesta, diskreettisyydestä ja avoimuudesta säilyvät myös äärelliseen vääntöön siirryttäessä. Tähän tarvitaan kuitenkin joitain oletuksia kuvauksen vääntöfunktiosta. Työssä konstruoidaan vastaesimerkkejä kuvauksista, joille nämä ominaisuudet eivät välttämättä ole voimassa. Tutkielman päätuloksina osoitetaan, että Sobolev-ava…
Uniformization with infinitesimally metric measures
We consider extensions of quasiconformal maps and the uniformization theorem to the setting of metric spaces $X$ homeomorphic to $\mathbb R^2$. Given a measure $\mu$ on such a space, we introduce $\mu$-quasiconformal maps $f:X \to \mathbb R^2$, whose definition involves deforming lengths of curves by $\mu$. We show that if $\mu$ is an infinitesimally metric measure, i.e., it satisfies an infinitesimal version of the metric doubling measure condition of David and Semmes, then such a $\mu$-quasiconformal map exists. We apply this result to give a characterization of the metric spaces admitting an infinitesimally quasisymmetric parametrization.
Quasispheres and metric doubling measures
Applying the Bonk-Kleiner characterization of Ahlfors 2-regular quasispheres, we show that a metric two-sphere $X$ is a quasisphere if and only if $X$ is linearly locally connected and carries a weak metric doubling measure, i.e., a measure that deforms the metric on $X$ without much shrinking.