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Filtration de Johnson et groupe de Torelli modulo p, p premier

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Resume Soit S ( g , 1 ) une surface connexe, compacte, orientee, de genre g, avec une composante de bord et Mod ( g , 1 ) son groupe modulaire. Soit p un entier, ou bien egal a 0, ou bien premier ⩾2. On construit une p-filtration centrale de Mod ( g , 1 ) , notee { M ( k , p ) : k ∈ N ∗ = N − { 0 } } , generalisant la filtration de Johnson (qui correspond a p = 0 ) telle que M ( 1 , p ) = Mod ( g , 1 ) , M ( k , p ) / M ( k + 1 , p ) ( k ⩾ 2 ) est un Z / p Z -espace vectoriel de dimension finie et M ( 2 , p ) est le groupe de Torelli modulo p (e.g. le sous-groupe de Mod ( g , 1 ) des homeomorphismes induisant l'identite sur H 1 ( S ( g , 1 ) ; Z / p Z ) ) . On annonce les resultats suivants : le groupe de Torelli ( mod p ) est engendre par le groupe de Torelli usuel et les puissances p-ieme des twists de Dehn. On determine ensuite l'abelianise du groupe de Torelli modp (a 2-torsion finie pres). Toute sphere d'homologie rationnelle Σ de dimension trois s'obtient en recollant deux corps d'anses par un element du groupe de Torelli ( mod p ) , ou p est un entier premier ⩾3 divisant ( n − 1 ) , n etant le cardinal de H 1 ( Σ ; Z ) . On propose enfin un invariant conjectural de ces spheres d'homologie rationnelle. Pour citer cet article : B. Perron, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).