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Grundlagen zeitstetiger Kursprozesse und das Black-Scholes-Modell

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Die Uberlegungen, die zu den Grenzwertresultaten des Binomialmodells gefuhrt haben, werfen einige grundlegende methodische Fragen auf. Die bisherige Begriffsbildung, Argumentation und Beweisfuhrung ist eng mit der diskreten Parametrisierung der Zeitachse verbunden. Die Konvergenzresultate zeigen jedoch, das die inhaltlichen Aussagen auch im Rahmen einer stetigen Parametrisierung der Zeitachse ihre Gultigkeit haben. Hieraus ergibt sich die Notwendigkeit einer Klarung. Anders ausgedruckt, wenn es prinzipiell moglich ist, zu konkreten Modellen mit diskreter Zeitstruktur Grenzwertresultate herzuleiten, deren Interpretation sich aufgrund der Approximationseigenschaft ergibt, so sollte es auch moglich sein, unmittelbar in einem zeitstetigen Rahmen sinnvoll argumentieren zu konnen. Hierbei ist sowohl aus modelltheoretischer wie auch aus mathematischer Sicht zu beachten, das die bisher nachgewiesenen Konvergenzresultate noch nicht die hierfur notwendige Begriffsbildung zur Verfugung stellen und durchaus unterschiedlicher Qualitat sind. Konvergenz im Sinne der Bewertungsformeln beschrankt sich auf den Grenzwert eines Erwartungswertes. Da die Erwartungswertbildung eine Mittelung uber die moglichen Realisationen darstellt, wird hier von einer Konvergenz im Mittel gesprochen. Dieser Konvergenzbegriff schliest nicht notwendig die Konvergenz einer diskreten gegen eine stetige Verteilung ein. Die Aussagen des Satzes 4.3, S. 144, uber die asymptotische Verteilung des Binomialmodells besitzt eine andere Qualitat und wird als Konvergenz in Verteilung bzw.