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Grundsätzliches über Gruppen

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Der mathematische Gruppenbegriff kodiert eine Situation, die man in Mathematik und Physik an den verschiedensten Stellen antrifft, und die Beschaftigung mit Gruppen verteilt sich daher auch auf diverse Teildisziplinen. Die Theorie der diskreten Gruppen – d. h. der Gruppen, deren Elemente man sich als einzelne Punkte vorstellen sollte – gehurt in die Algebra, und schon hier ist es ein groser Unterschied, ob man sich mit endlichen oder unendlichen Gruppen befasst. In der Theorie der topologischen Gruppen treten Aspekte aus Topologie und Funktionalanalysis hinzu, und bei der Behandlung von Lie schen Gruppen schlieslich werden Begriffe und Methoden aus Algebra, Topologie, Differentialgeometrie und Funktionalanalysis herangezogen. Viele konkret wichtige Gruppen bestehen aus Matrizen, und daher benutigt man zu ihrer Untersuchung auch Werkzeuge aus der linearen Algebra und Matrizentheorie.