Maß und Integral

Lacunary Bifurcation of Multiple Solutions of Nonlinear Eigenvalue Problems

In order to describe the type of nonlinear eigenvalue problems we are going to discuss, consider a densely defined closed linear operator T in a real Hilbert space H and let H1 be the Hilbert space which consists of the domain of T together with the graph norm. Also, let H 1 * be the dual space of H1 and denote the dual operator corresponding to T: H1 → H by T’:H → H 1 * . Since H1 is dense in H, we may view H as a subspace of H1, and then the scalar product (·,·) on H and the dual pairing on H1 × H 1 * coincide on H1 × H.

Geodätische und Krümmung

Existence and gap-bifurcation of multiple solutions to certain nonlinear eigenvalue problems

IN THIS PAPER we study: (i) a class of operator equations in an abstract Hilbert space; and (ii) the L2-theory of certain nonlinear Schrodinger equations which can be viewed as special cases of (i). In order to describe the type of abstract nonlinear eigenvalue problems to be discussed, consider a real Hilbert space H with scalar product (* , *) and norm II.11 and let S be a (not necessarily bounded) positive self-adjoint linear operator in li. We write S in the form

Die irreduziblen Darstellungen von SU(2) und SO(3)

Die in den letzten vier Kapiteln entwickelten theoretischen Resultate und Methoden werden jetzt auf die speziellen Gruppen \(\mathbf{S U}(2)\) und \(\mathbf{S O}(3)\) angewendet. Diese beiden Gruppen sind nicht nur fur die Physik besonders wichtig, sondern bilden auch ein Modellbeispiel und sozusagen einen Ausgangspunkt fur die weitergehende mathematische Theorie der kompakten halbeinfachen Lie-Gruppen. In den ersten beiden Abschnitten besprechen wir die irreduziblen Darstellungen der beiden Gruppen, wobei wir allerdings nicht die im vorigen Kapitel besprochene „infinitesimale Methode“ verwenden, sondern direkt eine – sozusagen intelligent geratene – Folge \((D^s\,, s \in S)\) von irreduzib…

Nonlinear Eigenvalue Problems of Schrödinger Type Admitting Eigenfunctions with Given Spectral Characteristics

The following work is an extension of our recent paper [10]. We still deal with nonlinear eigenvalue problems of the form in a real Hilbert space ℋ with a semi-bounded self-adjoint operator A0, while for every y from a dense subspace X of ℋ, B(y ) is a symmetric operator. The left-hand side is assumed to be related to a certain auxiliary functional ψ, and the associated linear problems are supposed to have non-empty discrete spectrum (y ∈ X). We reformulate and generalize the topological method presented by the authors in [10] to construct solutions of (∗) on a sphere SR ≔ {y ∈ X | ∥y∥ℋ = R} whose ψ-value is the n-th Ljusternik-Schnirelman level of ψ| and whose corresponding eigenvalue is t…

Lacunary bifurcation for operator equations and nonlinear boundary value problems on ℝN

SynopsisWe consider nonlinear eigenvalue problems of the form Lu + F(u) = λu in a real Hilbert space, where L is a positive self-adjoint linear operator and F is a nonlinearity vanishing to higher order at u = 0. We suppose that there are gaps in the essential spectrum of L and use critical point theory for strongly indefinite functionals to derive conditions for the existence of non-zero solutions for λ belonging to such a gap, and for the bifurcation of such solutions from the line of trivial solutions at the boundary points of a gap. The abstract results are applied to the L2-theory of semilinear elliptic partial differential equations on ℝN. We obtain existence results for the general c…

Evidence for the presence of autoantibodies to the collagen-like portion of C1q in systemic lupus erythematosus.

We investigated the connection between the C1q solid-phase binding assay (C1q SPBA) and double-stranded DNA antibodies, and analyzed the immune complex material in systemic lupus erythematosus (SLE) sera. Comparison with a new monoclonal assay for C1q-bearing immune complexes (the 242G3 assay) revealed that the immune complexes in SLE bind specifically to solid-phase C1q, and not to fluid-phase C1q. The C1q solid-phase binding activity sedimented as 7S IgG, was insensitive to DNase treatment, and could be selectively absorbed by C1q-coupled beads and by bovine serum albumin-anti-bovine serum albumin C1q beads, but not by DNA. Thus, antibodies to double-stranded DNA do not interfere in the C…

Einige spezielle Distributionen

Enzymatic alteration of C1q, the collagen-like subcomponent of the first component of complement, leads to cross-reactivity with type II collagen

AbstractNative serum C1q, the collagenous-like subcomponent of the first component of complement, is not recognized by polyclonal anti-collagen type II antibodies. However, when purified C1q was subjected to limited proteolysis by collagenase it showed antigenic cross-reactivity with collagen type II. The same cross-reactivity was observed with hemolytically active C1q in synovial fluids of patients with rheumatoid arthritis (RA), whereas C1q from synovial fluids of patients with osteoarthritis (OA), villo-nodular synovitis and ankylosing spondylitis was not recognized by this antibody. However, incubation of synovial fluid C1q of OA patients with synovial fluid leucocytes from RA patients …

Biosynthesis of the subcomponents Clq, Clr and Cls of the first component of complement (Cl) by guinea pig hepatocyte primary cultures

Thus far, the synthesis of C1q by liver cells has not been demonstrated. To investigate this possibility, viable hepatocytes were isolated from the liver of guinea pigs and primary cultures were established. The cells (10(6) cells/ml) were cultured under serum-free conditions for 8 days and the culture medium was changed every 24 h. The few contaminating Kupffer cells were lysed by preincubating the cell cultures with a monoclonal (22C4-8) antibody directed against a nonpolymorphic Ia determinant and preabsorbed rabbit serum. The hemolytic activity of C1 and its subcomponents C1q and C1r/C1s was tested in the supernatants. Guinea pig hepatocyte primary cultures synthesize and secrete up to …

Distributionen und temperierte Distributionen

Drehgruppe und Lorentzgruppe

Wie angekundigt, besprechen wir nun einige konkrete Matrixgruppen etwas naher, die fur die Physik von entscheidender Bedeutung sind. Uber die physikalische Anwendung hinaus dienen die hier dargestellten Einzelheiten im weiteren Verlauf auch als ein Fundus fur Beispiele, an denen sich allgemeinere Begriffe und Methoden illustrieren lassen. Allerdings bietet unsere Darstellung nur einen ersten Einstieg, und wer mehr uber die betrachteten Gruppen erfahren mochte, sei z. B. auf [14, 18, 48, 94] verwiesen oder auch – fur die rein mathematischen Aspekte – auf [20, 37].

Der Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren und die quantenmechanische Dynamik

In diesem Kapitel beweisen wir den beruhmten Spektralsatz, der besagt, dass jeder selbstadjungierte Operator A im Hilbertraum H in der Form

Grundbegriffe der Darstellungstheorie

Wie wir in Abschn. 17B gesehen haben, lauft die Diskussion von Symmetrien und Invarianzen stets darauf hinaus, eine Operation einer Gruppe G auf einer Menge Z zu untersuchen (wir betrachten o. B. d. A. nur Linksoperationen). Die dort angegebenen Beispiele machen schon klar, dass Z in vielen Fallen ein \({{\mathbb K}}\)-Vektorraum V ist und dass die Gruppenelemente als lineare Abbildungen operieren, d. h. man hat

Die infinitesimale Methode in der Darstellungstheorie

Nach Theorem 19.10 konnen wir jeder linearen Lie-Gruppe \(\mathbf{G} \leq \mathbf{GL} (n, {\mathbb K})\) ihre Lie-Algebra \({{\mathcal L}} (\mathbf{G})\) zuordnen, die den Tangentialraum an G in E darstellt und als Lie-Produkt das Kommutatorprodukt tragt. Bei der detaillierten Untersuchung und vor allem bei der expliziten Berechnung der irreduziblen Darstellungen arbeitet man lieber mit Lie-Algebren als mit den Lie-Gruppen selbst, weil die Struktur von Lie-Algebren wesentlich leichter durchschaut werden kann. Dazu muss man die Darstellungstheorie auf die Lie-Algebren ubertragen, und man muss untersuchen, was die Darstellungen von \({{\mathcal L}}(\mathbf{G})\) mit denen von G selbst zu tun …

Tensorprodukt und Faltung von Distributionen

Solvability of nonlinear equations in spectral gaps of the linearization

Keywords: strongle indefinite ; nonlinear Hill's equation Reference ANA-ARTICLE-1992-002doi:10.1016/0362-546X(92)90116-VView record in Web of Science Record created on 2008-12-10, modified on 2016-08-08

Monoclonal antibodies against components of the classical pathway of complement.

Activation of the classical pathway of complement involves several binding and enzymatic cleavage processes. Binding and enzymatic activation results in the appearance of new structures in the individual components. This report describes the different activation steps for C1q, C1r, C1s, C4 and C2 and summarizes monoclonal antibodies reported so far which recognize either conserved epitopes or activation-dependent epitopes with particular emphasis on neoepitopes occurring during the activation cascade.

Grundsätzliches über Gruppen

Der mathematische Gruppenbegriff kodiert eine Situation, die man in Mathematik und Physik an den verschiedensten Stellen antrifft, und die Beschaftigung mit Gruppen verteilt sich daher auch auf diverse Teildisziplinen. Die Theorie der diskreten Gruppen – d. h. der Gruppen, deren Elemente man sich als einzelne Punkte vorstellen sollte – gehurt in die Algebra, und schon hier ist es ein groser Unterschied, ob man sich mit endlichen oder unendlichen Gruppen befasst. In der Theorie der topologischen Gruppen treten Aspekte aus Topologie und Funktionalanalysis hinzu, und bei der Behandlung von Lie schen Gruppen schlieslich werden Begriffe und Methoden aus Algebra, Topologie, Differentialgeometrie …

Theorems of ascoli type involving measures of noncompactness

On the behaviour of measures of noncompactness with respect to differentiation and integration of vector-valued functions

Einführung in die Spektraltheorie

Isolation and characterization of maerophage-derived C1q and its similarities to serum C1q

Recently, we have shown that the collagen-like, Fc-recognizing subcomponent C1q of the first complement component is synthesized by human, guinea pig and mouse peritoneal macrophages. To test whether macrophages may contribute to the serum pool of C1q, C1q was purified from guinea pig serum and from guinea pig peritoneal macrophage supernatants and compared for similarities. Both molecules had a similar sedimentation rate (macrophage C1q: 11.3 S, serum C1q: 11.2 S) and showed on sodium dodecyl sulfate-polyacrylamide gel electrophoresis under reducing conditions three identical bands with molecular weights of Mr, 29 000, Mr, 27 000 and Mr 23 000 for the A, B and C chains, respectively. Both …

Uniqueness of positive multi-lump bound states of nonlinear Schr�dinger equations

In this paper we are concerned with multi-lump bound states of the nonlinear Schrodinger equation

Lie-Gruppen und Lie-Algebren

Abgesehen von den Permutationsgruppen (Beispiel 6 aus Kap. 17), den Gittern (Aufgabe 17.3) und den kristallographischen Gruppen (Aufgabe 18.9) interessieren in der Physik hauptsachlich kontinuierliche Gruppen, d. h. solche, deren Elemente kontinuierlich variiert werden konnen. Man kann sie auch als Transformationsscharen betrachten, welche von endlich vielen reellen Parametern abhangen (oder auch von unendlich vielen, doch ist das ein fortgeschrittenes Thema, auf das wir hier nicht eingehen konnen). Typische Beispiele hierfur haben wir im vorigen Kapitel kennengelernt:

Darstellungstheorie kompakter Gruppen

Das einfuhrende Material aus dem vorigen Kapitel ermoglicht es fur endliche Gruppen schon, die Darstellungstheorie recht weit voranzutreiben: Zunachst einmal genugt es, sich auf endlichdimensionale Tragerraume zu beschranken (vgl. Aufgabe 20.8), und dann kann man nach dem Satz von Maschke die beteiligten Darstellungen auch als unitar annehmen. Diese aber sind nach Theorem 20.11 vollreduzibel, und fur ihre irreduziblen Bausteine gilt das Schursche Lemma in seinen beiden Varianten 20.13 und 20.14. Ausgehend vom Schurschen Lemma kann eine sehr weitreichende algebraische Theorie der Darstellungen endlicher Gruppen entwickelt werden, doch ist diese fur die Physik so lange nicht von zentraler Bed…

Koordinatenfreie Formulierungen der klassischen Mechanik

Integration und Differentiation von Differentialformen

Beschränkte lineare Operatoren

C1q-bearing immune complexes detected by a monoclonal antibody to human C1q in rheumatoid arthritis sera and synovial fluids

Using a monoclonal antibody directed against the C-chain of human C1q, we detected C1q-bearing immune complexes (IC) in sera and synovial fluids of rheumatoid arthritis (RA) patients. In a sandwich-ELISA, C1q-bearing IC were captured by the solid-phase monoclonal antibody and then detected with peroxidase-labeled F(ab')2-antibodies to either human IgG or IgM. The results of this assay were compared to an ELISA-modification of the C1q-solid-phase binding assay (C1q-SPBA). C1q-bearing IC were detected in 81.1% of RA-sera and the 65.2% of RA-synovial fluids. IgG as well as IgM was present in 72.6% of the sera and 70% of the synovial fluids which were positive in both assays. Most RA sera that …

Banach- und Hilberträume

Autoantikörper gegen die Komplementkomponente C1q beim Systemischen Lupus Erythematodes

Autoantibodies against C1q, a subcomponent of the first complement component C1, could be detected in 49.4% of sera from patients with systemic lupus erythematosus (SLE). They are directed against the collagen-like portion of the C1q molecule and recognize only bound, but not fluid-phase C1q. The appearance of these autoantibodies in the course of SLE correlates with the detection of IgG in the C1q-Solid-Phase-Bindingassay, with high titres of dsDNA-antibodies and with depressed total complement activity (CH50) and C1q-values. Our investigations show that autoantibodies against the collagen-like portion of bound C1q but not immune complexes are the main constituent of C1q-binding IgG in SLE.

Tensorfelder und Differentialformen

Ultracentrifugation studies on the native form of the first component of human complement (C1)