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Darstellungstheorie kompakter Gruppen

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Das einfuhrende Material aus dem vorigen Kapitel ermoglicht es fur endliche Gruppen schon, die Darstellungstheorie recht weit voranzutreiben: Zunachst einmal genugt es, sich auf endlichdimensionale Tragerraume zu beschranken (vgl. Aufgabe 20.8), und dann kann man nach dem Satz von Maschke die beteiligten Darstellungen auch als unitar annehmen. Diese aber sind nach Theorem 20.11 vollreduzibel, und fur ihre irreduziblen Bausteine gilt das Schursche Lemma in seinen beiden Varianten 20.13 und 20.14. Ausgehend vom Schurschen Lemma kann eine sehr weitreichende algebraische Theorie der Darstellungen endlicher Gruppen entwickelt werden, doch ist diese fur die Physik so lange nicht von zentraler Bedeutung, wie es nicht gelingt, sie auf gewisse unendliche Gruppen zu verallgemeinern.