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RESEARCH PRODUCT

Die infinitesimale Methode in der Darstellungstheorie

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Nach Theorem 19.10 konnen wir jeder linearen Lie-Gruppe \(\mathbf{G} \leq \mathbf{GL} (n, {\mathbb K})\) ihre Lie-Algebra \({{\mathcal L}} (\mathbf{G})\) zuordnen, die den Tangentialraum an G in E darstellt und als Lie-Produkt das Kommutatorprodukt tragt. Bei der detaillierten Untersuchung und vor allem bei der expliziten Berechnung der irreduziblen Darstellungen arbeitet man lieber mit Lie-Algebren als mit den Lie-Gruppen selbst, weil die Struktur von Lie-Algebren wesentlich leichter durchschaut werden kann. Dazu muss man die Darstellungstheorie auf die Lie-Algebren ubertragen, und man muss untersuchen, was die Darstellungen von \({{\mathcal L}}(\mathbf{G})\) mit denen von G selbst zu tun haben.