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Numerische Lösung freier Randwertprobleme

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In diesem Kapitel widmen wir uns der Aufgabe, den fairen Preis fur amerikanische Optionen zu berechnen. Wie in Kapitel 1 bereits erklart, raumen amerikanische Optionen im Gegensatz zu europaischen Optionen das Recht ein, die Option zu einem beliebigen Zeitpunkt innerhalb der Laufzeit auszuuben. Aufgrund des zusatzlichen Rechts der vorzeitigen Ausubung ist eine amerikanische Option im Allgemeinen teurer als die entsprechende europaische Option. Der Preis einer amerikanischen Option kann also nicht uber die Black-Scholes-Gleichung bestimmt werden. In Abschnitt 7.1 zeigen wir, dass der Optionspreis durch Losen einer Black-Scholes-Ungleichung berechnet werden kann. Diese Ungleichung hangt mit sogenannten Hindernisproblemen zusammen, die wir in Abschnitt 7.2 erlautern. Die Black-Scholes-Ungleichung besitzt im Allgemeinen keine explizite Losung, sondern muss numerisch gelost werden. Eine numerische Methode, die sogenannte Projektions-SOR-Methode, stellen wir in Abschnitt 7.3 vor. Ferner vertiefen wir die Frage der numerischen Bewertung amerikanischer Optionen mit Hilfe sogenannter Strafmethoden fur Variationsungleichungen (Abschnitt 7.4).