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AUTHOR
Michael Günther
Die Monte-Carlo-Methode
Der Preis einer europ¨aischen (Plain-vanilla) Option kann mit der Black-Scholes-Formel aus Abschnitt 4.2 berechnet werden. Leider existieren zu komplexeren Optionen im allgemeinen keine expliziten Formeln mehr. In diesem Abschnitt stellen wir die Monte-Carlo-Methode zur Integration von stochastischen Differentialgleichungen vor, mit der faire Preise von komplizierten Optionsmodellen numerisch berechnet werden k¨onnen. Zuerst f¨uhren wir in Abschnitt 5.1 in die Thematik ein. Das Monte-Carlo-Verfahren erfordert die Simulation von Realisierungen eines Wiener-Prozesses. Die Simulation wiederum ben¨otigt normalverteilte Zufallszahlen. Die Erzeugung von Zufallszahlen ist Gegenstand von Abschnitt …
Eine kleine Einführung in MATLAB
In Abschnitt 9.1 stellen wir knapp die Informationen zusammen, die es Leserinnen und Leser ohne Matlab-Kenntnisse ermoglichen sollen, die in diesem Buch entwickelten Matlab-Programme nachzuvollziehen. Alle weiteren, uber die Kurzeinfuhrung hinausgehenden Matlab-Befehle werden im Text jeweils an der Stelle eingefuhrt und erlautert, an der sie benotigt werden. In Abschnitt 9.2 stellen wir drei Matlab-Toolboxen (d.h. Sammlungen von Prozeduren) vor, die fur Finanzanwendungen sehr hilfreich sind.
Einige weiterführende Themen
In diesem Kapitel stellen wir einige weiterfuhrende Themen vor. In Abschnitt 8.1 erlautern wir Volatilitatsmodelle. Zinsderivate werden in Abschnitt 8.2 diskutiert. Eine Einfuhrung in die Bewertung von Wetter- und Energiederivaten wird in Abschnitt 8.3 gegeben. Schlieslich definieren und bewerten wir in Abschnitt 8.4 Kreditderivate, die in der Finanzkrise ab 2007 eine grose Rolle gespielt haben, namlich Credit Default Obligations (CDO). Wege zur besseren Beschreibung des Korrelationsrisikos, dessen Unterschatzung eine der Grunde der Finanzkrise war, diskutieren wir im abschliesenden Abschnitt 8.5.
Numerische Lösung parabolischer Differentialgleichungen
In Kapitel 5 haben wir die Monte-Carlo-Methode zur Losung stochastischer Differentialgleichungen kennengelernt und gesehen, dass diese Methode im allgemeinen recht zeit- und rechenintensiv ist. Die Preise exotischer Optionen konnen haufig auch durch die Losung einer partiellen Differentialgleichung vom Black-Scholes-Typ bestimmt werden. Diese Differentialgleichungen konnen allerdings im allgemeinen nicht explizit gelost werden. In diesem Kapitel stellen wir einige Techniken vor, mit denen diese Gleichungen numerisch gelost werden konnen.
Numerische Lösung freier Randwertprobleme
In diesem Kapitel widmen wir uns der Aufgabe, den fairen Preis fur amerikanische Optionen zu berechnen. Wie in Kapitel 1 bereits erklart, raumen amerikanische Optionen im Gegensatz zu europaischen Optionen das Recht ein, die Option zu einem beliebigen Zeitpunkt innerhalb der Laufzeit auszuuben. Aufgrund des zusatzlichen Rechts der vorzeitigen Ausubung ist eine amerikanische Option im Allgemeinen teurer als die entsprechende europaische Option. Der Preis einer amerikanischen Option kann also nicht uber die Black-Scholes-Gleichung bestimmt werden. In Abschnitt 7.1 zeigen wir, dass der Optionspreis durch Losen einer Black-Scholes-Ungleichung berechnet werden kann. Diese Ungleichung hangt mit s…
Die Black-Scholes-Gleichung
In diesem Kapitel leiten wir die Black-Scholes-Gleichung her. Dafur benotigen wir den Begriff der stochastischen Differentialgleichung von Ito, den wir in Abschnitt 4.1 einfuhren. Abschnitt 4.2 befasst sich dann mit der Herleitung der Black-Scholes-Gleichung und deren Losung, den sogenannten Black-Scholes-Formeln. Auf die effiziente numerische Auswertung dieser Formeln gehen wir in Abschnitt 4.3 ein. In Abschnitt 4.4 definieren wir dynamische Kennzahlen und erortern, wie die Volatilitat bestimmt werden kann. Erweiterungen der Black-Scholes-Gleichung stellen wir schlieslich in Abschnitt 4.5 vor.