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Mechanik des starren Körpers

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Die Theorie des starren Korpers ist ein besonders wichtiges Teilgebiet der allgemeinen Mechanik: Zum einen ist der Kreisel nachst den kugelsymmetrischen Massenverteilungen des Abschn. 1.29 das einfachste Beispiel eines ausgedehnten Korpers. Zum zweiten stellt die Dynamik des starren Korpers einen besonders schonen Modellfall dar, an dem man die allgemeinen Prinzipien der kanonischen Mechanik ausprobieren und die Folgerungen aus den jeweiligen raumlichen Symmetrien besonders anschaulich studieren kann. Zum dritten stellen die Bewegungsgleichungen des Kreisels, die Eulerschen Gleichungen, ein interessantes Beispiel fur nichtlineare Dynamik dar. (Damit ist gemeint, das diese Gleichungen nicht in linearer Weise von den gesuchten dynamischen Variablen und deren Ableitungen abhangen.) Zum vierten schlieslich fuhrt die Beschreibung des starren Korpers wieder auf die kompakte Liesche Gruppe SO (3), die wir im Zusammenhang mit der Invarianz von mechanischen Bewegungsgleichungen unter Drehungen des Koordinatensystems studiert haben: Der Konfigurationsraum des nichtentarteten Kreisels ist das direkte Produkt aus dem dreidimensionalen Raum ℝ3 und der Gruppe SO(3) in dem Sinne, das seine momentane Konfiguration durch die Angabe (i) der Lage des Schwerpunktes, (ii) der Orientierung des Korpers relativ zu einem vorgegebenen Inertialsystem vollstandig bestimmt ist. Der Schwerpunkt wird durch einen Bahnvektor r s (t) im ℝ3, die Orientierung durch drei zeitabhangige Winkel beschrieben, die die Mannigfaltigkeit der SO (3) aufspannen. (Nichtentartet heist hier, das nicht alle Punkte des Korpers auf einer Achse liegen. Ist dies der Fall, so spricht man von einer Hantel. Die Konfigurationsmannigfaltigkeit der Hantel ist die Mannigfaltigkeit ℝ3×S 2.) Schlieslich gibt es einige Spezialfalle in der Theorie des starren Korpers, die sich integrieren, und solche, die sich geometrisch losen lassen; man lernt also noch einige weitere integrable Systeme kennen.