6533b852fe1ef96bd12aa5dd

RESEARCH PRODUCT

Jordanin sisältö ja Lebesguen ulkomitta

subject

description

Tämän tutkielman tarkoituksena on tutustua Jordanin sisältöön ja Lebesguen ulkomittaan reaaliakselin välillä ja tason joukossa, joita käytetään muun muassa tutkittaessa funktion Riemann-\hskip0pt integroituvuutta. Tutkielmassa tutustutaan Jordanin sisä- ja ulkosisällön sekä Lebesguen ulkomitan tärkeimpiin ominaisuuksiin sekä niiden väliseen yhteyteen. Lisäksi käsitellään Jordanin ja Lebesguen ehdot funktion Riemann-integroituvuudelle. Tutkielman aluksi kerrataan analyysin perusteista reaaliakselin välin Riemannin integraali sekä mitta- ja integraaliteorian käsite nollamittaisuus, jotka ovat tutkielman kannalta tärkeitä asioita. Lisäksi tutustutaan funktion oskillaatioon eli funktion arvojen heilahteluun reaaliakselin välillä. Tämä on keskeisessä asemassa tutkittaessa Riemann-integroituvuutta Jordanin ulkosisällön avulla. Jordanin kriteerissä tutkitaan joukkoa, jossa funktion oskillaatio kasvaa suuremmaksi tai on yhtä suuri kuin annettu luku $\epsilon$. Funktio on Riemann-integroituva jos ja vain jos tämä joukko on nollamittainen. Lisäksi tutustutaan Lebesguen ulkomittaan ja sen ominaisuuksiin sekä Lebesguen ehtoon Riemann-integroituvuudelle. Lebesguen ehdon mukaan funktio on Riemann-integroituva jos ja vain jos epäjatkuvuuspisteiden joukon Lebesguen ulkomitta on nolla. Esimerkit ja kuvat havainnollistavat mitä hyötyä Jordanin sisä- ja ulkosisällöstä sekä Lebesguen ulkomitasta on käytännössä. Tutkielman lopuksi tutustutaan vastaaviin asioihin kuin ensimmäisessä luvussa, mutta reaaliakselin välin sijasta tutkitaan asioita tason joukossa.