Search results for "integraalilaskenta"
showing 9 items of 9 documents
On the approximation of stochastic integrals
2005
On fractional smoothness and approximations of stochastic integrals
2009
Pestov identities and X-ray tomography on manifolds of low regularity
2021
We prove that the geodesic X-ray transform is injective on scalar functions and (solenoidally) on one-forms on simple Riemannian manifolds $(M,g)$ with $g \in C^{1,1}$. In addition to a proof, we produce a redefinition of simplicity that is compatible with rough geometry. This $C^{1,1}$-regularity is optimal on the H\"older scale. The bulk of the article is devoted to setting up a calculus of differential and curvature operators on the unit sphere bundle atop this non-smooth structure.
Torus computed tomography
2020
We present a new computed tomography (CT) method for inverting the Radon transform in 2D. The idea relies on the geometry of the flat torus, hence we call the new method Torus CT. We prove new inversion formulas for integrable functions, solve a minimization problem associated to Tikhonov regularization in Sobolev spaces and prove that the solution operator provides an admissible regularization strategy with a quantitative stability estimate. This regularization is a simple post-processing low-pass filter for the Fourier series of a phantom. We also study the adjoint and the normal operator of the X-ray transform on the flat torus. The X-ray transform is unitary on the flat torus. We have i…
K-kertaisesti kiellettyjen uniikkien β-siirtymien faasiavaruusintegraalit
2018
Tässä tutkimuksessa perehdytään K-kertaisesti kiellettyjen uniikkien beetasiirtymien faasiavaruusintegraaleihin. K-kertaisesti kielletyt uniikit beetasiirtymät ovat beetahajoamisten alaryhmä, ja faasiavaruusintegraalit kuvaavat hajoamisreaktion jälkeisiä lopputiloja ja antavat muun muassa tärkeää tietoa siirtymän hajoamisvakiosta. Tutkimuksessa laskettiin numeerisesti faasiavaruusintegraalit useille tunnetuille beetasiirtymille, jotka voivat olla kaksi- tai useampikertaisesti kiellettyjä. Saatua laskentadataa analysoitiin eri näkökulmista. Tärkein näkökulma on kielletyn uniikin beetasiirtymän ja samaa beetahajoamista kuvaavan perus- eli sallitun siirtymän välinen suhde, koska tämä näkökulma…
Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä
2016
Tutkielmassa tarkastellaan ensin Riemannin integraalia ja sen ongelmia rajankäyntitilanteissa. Suurin ongelma rajankäynnissä on, että Riemannintegraalien jonon raja-arvo ei välttämättä aina ole sama kuin rajafunktion Riemann-integraali. Lisäksi todetaan, että Riemann-integroituvien funktioiden joukko on melko pieni. Seuraavana esitellään porrasfunktioiden integraali ominaisuuksineen. Tämän jälkeen perehdytään Riemann-integroituvien funktioiden luokkaa suurempaan yläfunktioiden luokkaan L+ ja lisäksi osoitetaan, että Riemann-integroituvat funktiot kuuluvat yläfunktioiden luokkaan. Yläfunktioiden luokan esittelyn jälkeen määritellään Lebesguen integraali ja perehdytään sen ominaisuuksiin. Leb…
Jordanin sisältö ja Lebesguen ulkomitta
2016
Tämän tutkielman tarkoituksena on tutustua Jordanin sisältöön ja Lebesguen ulkomittaan reaaliakselin välillä ja tason joukossa, joita käytetään muun muassa tutkittaessa funktion Riemann-\hskip0pt integroituvuutta. Tutkielmassa tutustutaan Jordanin sisä- ja ulkosisällön sekä Lebesguen ulkomitan tärkeimpiin ominaisuuksiin sekä niiden väliseen yhteyteen. Lisäksi käsitellään Jordanin ja Lebesguen ehdot funktion Riemann-integroituvuudelle. Tutkielman aluksi kerrataan analyysin perusteista reaaliakselin välin Riemannin integraali sekä mitta- ja integraaliteorian käsite nollamittaisuus, jotka ovat tutkielman kannalta tärkeitä asioita. Lisäksi tutustutaan funktion oskillaatioon eli funktion arvojen…
Hyperreaaliluvut
2017
Hyperreaaliluvut ovat reaalilukujen joukon laajennus, jossa on olemassa äärettömän pieniä ja suuria lukuja. Hyperreaalilukuja käytetään differentiaali- ja integraalilaskennassa. Metodi on suosittu erityisesti fyysikoiden keskuudessa. Analyysin osa-aluetta, jossa hyödynnetään hyperreaalilukuja, kutsutaan epästandardiksi analyysiksi. Epästandardissa analyysissä käytetään analyysille epästandardeja työkaluja, josta nimi juontuu. Hyperreaalilukujen edut verrattaessa reaalilukuihin tulevat esille epästandardissa analyysissä. Varsinkin fysiikassa hyödynnetään yhtälöiden differentiaalimuotoja ja integroinnissa lähtökohtana pidetään infinitesimaalin valintaa. Tutkielmassa hyperreaaliluvut määritell…