Search results for "matematiikka"

On the statistics of pairs of logarithms of integers

2022

We study the statistics of pairs of logarithms of positive integers at various scalings, either with trivial weights or with weights given by the Euler function, proving the existence of pair correlation functions. We prove that at the linear scaling, which is not the usual scaling by the inverse of the average gap, the pair correlations exhibit a level repulsion similar to radial distribution functions of fluids. We prove total loss of mass phenomena at superlinear scalings, and constant nonzero asymptotic behavior at sublinear scalings. The case of Euler weights has applications to the pair correlation of the lengths of common perpendicular geodesic arcs from the maximal Margulis cusp nei…

Bridges Baltimore 2015: Charmed by Mathematics in Charm City

2016

In 2015, the Bridges World Conference, the most significant annual international gathering to be held for exploring connections between mathematics and the arts, met in Baltimore, USA. The conference program included lectures by recognized scholars and artists, the world largest exhibition of mathematical art, thematic theatre performances, a poetry afternoon demonstrating how mathematics can interrelate with literature, and a short film festival as well as workshops organized by researchers, educators and artists. nonPeerReviewed

Unbiased Inference for Discretely Observed Hidden Markov Model Diffusions

2021

We develop a Bayesian inference method for diffusions observed discretely and with noise, which is free of discretisation bias. Unlike existing unbiased inference methods, our method does not rely on exact simulation techniques. Instead, our method uses standard time-discretised approximations of diffusions, such as the Euler--Maruyama scheme. Our approach is based on particle marginal Metropolis--Hastings, a particle filter, randomised multilevel Monte Carlo, and importance sampling type correction of approximate Markov chain Monte Carlo. The resulting estimator leads to inference without a bias from the time-discretisation as the number of Markov chain iterations increases. We give conver…

Fourier'n sarjan suppeneminen

2017

Funktion f Fourier'n sarja on ääretön funktiosarja, jossa summataan funktiosta f ja summausindeksistä n riippuvia Fourier'n kertoimia funktiolla e^{inx} kerrottuna. Fourier'n sarjoja käytetään esimerkiksi osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen. Tässä tutkielmassa käsitellään Fourier'n sarjan suppenemista. Kun Fourier'n sarja keksittiin, pitkään luultiin, että jatkuvan funktion Fourier'n sarja suppenee aina. Tässä työssä osoitetaan, että näin ei ole. Ensin työssä osoitetaan, että jatkuvan funktion Fourier'n sarja "melkein suppenee," eli on Abel- ja Cesàro-summautuva. Abel-summautuvuudessa sarjan summattavat kerrotaan luvulla r^n, missä luku r on itseisarvoltaan pienempi kuin 1 ja n …

Random cutout sets with spatially inhomogeneous intensities

2015

We study the Hausdorff dimension of Poissonian cutout sets defined via inhomogeneous intensity measures on Ahlfors-regular metric spaces. We obtain formulas for the Hausdorff dimension of such cutouts in self-similar and self-conformal spaces using the multifractal decomposition of the average densities for the natural measures.

Dynaamisen matematiikan ohjelmiston hyödyntäminen analyysin peruskäsitteiden opetuksessa

2016

Geogebra-avusteinen tutkiva matematiikka opetusharjoittelussa : tutkimuksia opettajan ja oppilaiden toiminnasta

2011

Tässä artikkelikokoelmassa julkaistavat tutkimusraportit syntyivät osana johtamaani ”Tutkiva matematiikka opetusharjoittelussa” -projektia. Projektin tavoitteena on tarkastella tekijöitä, joista tutkiva matematiikan oppiminen muodostuu sekä kehittää ohjeistusta tutkivan matematiikan käytännön toteutukseen. Opetin matematiikan aineenopettajiksi opiskeleville kahdeksan 45 minuutin oppituntia tutkivan matematiikan periaatteita kurssilla ”OPEA411 Syventävä ainepedagogiikka”. Lisäksi kurssin ”OPEA611 Aineenopettaja työnsä tutkijana” 10 oppitunnin aikana perehdyimme tutkivaa matematiikkaa käsitteleviin tutkimuksiin, opetusta kehittämään pyrkiviin tutkimusmenetelmiin ja videoanalyysiin. Näistä 18 …

Lukiolaisten matemaattinen päättely GeoGebra-avusteisessa tutkivassa matematiikassa

2012

GeoGebra-ohjelma konstruktivistisen oppimiskäsityksen mukaisen matematiikanopetuksen tukena

2009

Pedagogical experiments with MathCheck in university teaching

2019

MathCheck is a relatively new online tool that gives students feedback on their solutions to elementary university mathematics and theoretical computer science exercises. MathCheck was designed with constructivism learning theory in mind and it differs from other online tools as it checks the solutions step by step and shows a counter-example if the step is incorrect. It has been in student use since the autumn of 2015 and under design-based research from the first online day. The main research questions of this study are the following. 1) How can the usage of MathCheck support the aspects of conceptual understanding and procedural fluency of constructivism learning? 2) How can MathCheck em…