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AUTHOR
Robert Moussu
Pinceau intégral enlacé
Resume Soit γ0 une courbe integrale d'un champ de vecteurs analytique reel sur une variete de dimension 3. Supposons que γ0 a des tangentes iterees orientees. Le pinceau integral PI(γ0) est l'ensemble des courbes integrales γ qui ont les memes tangentes iterees orientees que γ0. Les courbes de PI(γ0), sont soit deux a deux sous-analytiquement separables soit deux a deux asymptotiquement enlacees. Dans ce dernier cas, PI(γ0) possede un axe formel divergent si et seulement ces courbes sont non oscillantes. Pour citer cet article : F. Cano et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 334 (2002) 855–858.
Oscillation, spiralement, tourbillonnement
La dynamique oscillante d'un champ de vecteurs analytique en dimension trois s'organise autour d'un nombre fini d'axes de tourbillonnement lorsqu'elle ne se delocalise pas par des eclatements de point.
Champs de vecteurs analytiques et champs de gradients
A theorem of Łojasiewicz asserts that any relatively compact solution of a real analytic gradient vector field has finite length. We show here a generalization of this result for relatively compact solutions of an analytic vector field X with a smooth invariant hypersurface, transversally hyperbolic for X, where the restriction of the field is a gradient. This solves some instances of R. Thom's Gradient Conjecture. Furthermore, if the dimension of the ambient space is three, these solutions do not oscillate (in the sense that they cut an analytic set only finitely many times); this can also be applied to some gradient vector fields.
Singularités d’équations différentielles holomorphes en dimension deux
Soit ω = adx + bdy une 1-forme holomorphe sur un voisinage U d’un point u de ℂ2 et dont u est le seul point singulier. Les courbes integrales de l’equation de Pfaff ω = 0 sont les feuilles d’un feuilletage holomorphe F ω de U \ {a}. Dans les annees 70, R. Thom a pose de tres bonnes questions sur ces objets. Elles sont aujourd’hui resolues. Ce travail est essentiellement consacre a la preuve de la suivante: ω = 0 possede une integrale premiere holomorphe si et seulement si F ω possede un nombre fini de separatrices et si ses autres feuilles sont fermees. Il sagit surtout de montrer que la desingularisation et l’holonomie projective sont des outils precieux dans l’etude de telles singularites…