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RESEARCH PRODUCT

The spectrum of weakly coupled map lattices

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We consider weakly coupled analytic expanding circle maps on the lattice Zd (for d 2 l), with small coupling strength c and coupling between two sites decaying exponentially with the distance. We study the spectrum of the associated (Perron-Frobenius) transfer operators. We give a FrCchet space on which the operator associated to the full system has a simple eigenvalue at 1 (corresponding to the SRB measure p* previously obtained by Bricmont-Kupiainen (BKl)) and the rest of the spectrum, except maybe for continuous spectrum, is inside a disc of radius smaller than one. For d = 1 we also construct Banach spaces of densities with respect to pr on which perturbation theory, applied to the difference of fixed high iterates of the normalised coupled and uncoupled transfer operators, yields localisation of the full spectrum of the coupled operator (i.e., the first spectral gap and beyond). As a side-effect, we show that the whole spectra of the truncated coupled transfer operators (on bounded analytic functions) are o(e)-close to the truncated uncoupled spectra, uniformly in the spatial size. Our method uses polymer expansions and also gives the exponential decay of time-correlations for a larger class of observables than those considered in (BKI). 0 Elsevier, Paris RBsuMB. - Nous considtrons des applications faiblement couplees sur le reseau Zd (pour d 1 l), avec faible intensite de couplage t et un couplage decroissant exponentiellement avec la distance entre les sites. Nous Ctudions le spectre des opt%ateurs de transfert (Perron-Frobenius) associes. Nous decrivons un espace de Frechet sur lequel l'operateur associe au systeme infini possede une valeur propre simple en 1 (correspondant a la mesure SRB ~1~ obtenue prectdemment par Bricmont-Kupiainen (BKl)), alors que le reste du spectre, sauf peut-&tre pour du spectre continu, est dans un disque de rayon inferieur a un. En dimension d = 1 nous constmisons aussi un espace de Banach de densites par rapport a pe sur lequel la theorie de perturbation classique s'applique a la difference entre des grands it&es des optrateurs de transfert normalises couples et non couples et nous permet de localiser le spectre tout entier de I'operateur couple (meme au-deli de la premiere lacune spectrale). En passant, nous montrons que le spectre tout entier des optrateurs de transfert couples tronques (agissant sur des fonctions analytiques bomtes) est U(e)-pres du spectre non couple tronqd, uniformement en la taille spatiale. Notre m&bode est basee sur des expansions en polymeres et foumit aussi la decroissance exponentielle des correlations temporelles pour une classe d'observable plus grande que celle consideree dans (BKl). 0 Elsevier, Paris