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Die konfluente hypergeometrische Funktion und ihre Spezialfälle

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Die konfluente hypergeometrische Funktion entsteht aus der Losung einer Riemannschen Differentialgleichung $$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0,} & {\infty ,} & c \\ {\frac{1}{2} + \mu ,} & { - c} & {c - x;z} \\ {\frac{1}{2} - \mu ,} & {0,} & x \\ \end{array}} \right\}$$ durch den Grenzubergang c →∞; sie hangt noch von zwei Parametern ϰ und µ ab und ist allgemein definiert als eine Losung u der Differentialgleichung $$ \frac{{{d^2}u}}{{d{z^2}}} + \frac{{du}}{{dz}} + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \chi \\ z \\ \end{array} + \frac{{\frac{1}{4} - {\mu ^2}}}{z}} \right)u = 0$$ (1) sie kann als lineare Kombination der Funktionen $$ \frac{{{d^2}u}}{{d{z^2}}} + \frac{{du}}{{dz}} + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \chi \\ z \\ \end{array} + \frac{{\frac{1}{4} - {\mu ^2}}}{z}} \right)u = 0$$ (2) dargestellt werden, sofern 2 µ nicht gleich einer der Zahlen 0, ± 1, ±2, ±3, ...ist, da in diesem Falte die Funktionen in (2) nicht mehr beide definiert bzw. (fur µ .= 0) linear abhangig sind1. Die Funktion $$ v(z) = {}_1{F_1}(a;c;z) \equiv 1 + \frac{a}{c}\frac{z}{{1!}} + \frac{{a(a + 1)}}{{c(c + 1)}}\frac{{{z^2}}}{{2!}} + \cdots $$ (3) heist Kummer sche Funktion; sie wird vielfach auch als konfluente hypergeometrische Reihe bezeichnet2 und genugt der Kummerschen Differentialgleichung $$ z{\textstyle{{{d^2}v} \over {d{z^2}}}} + (c - z)\frac{{dv}}{{dz}} - av = o$$ (4) sie ist eine ganze Funktion von z.