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Wilhelm Magnus
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Elliptische Integrale, Thetafunktionen und elliptische Funktionen
1948
Es bedeute W die Quadratwurzel aus einem Polynom dritten oder vierten Grades in einer Veranderlichen z mit lauter verschiedenen Nullstellen, und R (z, W) eine rationale Funktion von z und W. Das unbestimmte Integral von R als Funktion von z heist dann ein elliptisches Integial, falls es sich nicht auf elementare Funktionen reduzieren last.
Die konfluente hypergeometrische Funktion und ihre Spezialfälle
1948
Die konfluente hypergeometrische Funktion entsteht aus der Losung einer Riemannschen Differentialgleichung $$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0,} & {\infty ,} & c \\ {\frac{1}{2} + \mu ,} & { - c} & {c - x;z} \\ {\frac{1}{2} - \mu ,} & {0,} & x \\ \end{array}} \right\}$$ durch den Grenzubergang c →∞; sie hangt noch von zwei Parametern ϰ und µ ab und ist allgemein definiert als eine Losung u der Differentialgleichung $$ \frac{{{d^2}u}}{{d{z^2}}} + \frac{{du}}{{dz}} + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \chi \\ z \\ \end{array} + \frac{{\frac{1}{4} - {\mu ^2}}}{z}} \right)u = 0$$ (1) sie kann als lineare Kombination der Funktionen $$ \frac{{{d^2}u}}{{d{z^2}}} + \frac{{du}}{{dz}} + \left( {\begi…
Anwendung der elliptischen Funktionen auf Probleme der Elektrostatik
1949
Vorausgesetzt wird im folgenden eine Verteilung des elektrostatischen Feldes, die von einer der drei rechtwinkligen Koordinaten x, y, z, beispielsweise von z unabhangig ist. Das heist alle vorhandenen Leiter sind unendlich lange Zylinder beliebigen Querschnitts, deren Mantellinien parallel der z-Achse gerichtet sind. Es genugt daher den Feldverlauf in der xy-Ebene zu untersuchen. Unter dieser Voraussetzung lautet die Differentialgleichung fur das elektrostatische Potential φ =φ (x, y) XXX
Konforme Abbildung und Greensche Funktion
1949
Mit Hilfe des Additionstheorems Gl. (I, 31) und mit Hilfe der imaginaren Transformation von Jacobi Gl. (I, 33) folgt fur die durch die Funktion λ = sn (z, k) vermittelte, Abbildung der z-Ebene auf die λ-Ebene $$\lambda = {\lambda _1} + i{\lambda _2} = snz = sn\left( {x + iy} \right) = \frac{{snxcniydniy + sniycnxdnx}}{{1 - {k^2}s{n^2}xs{n^2}iy}}$$ .
Anwendungen in Hydro- und Aerodynamik
1949
Wie in der Theorie der Hydrodynamik gezeigt wird, konnen die Geschwindigkeitskomponenten der stationaren Stromung einer reibungslosen inkompressiblen Flussigkeit durch Differentiation einer der Laplaceschen Differentialgleichung genugenden Ortsfunktion u (des Geschwindigkeitspotentials) nach den Koordinaten des Aufpunktes erhalten werden. Ist insbesondere die Stromung zweidimensional, d. h. z. B. nur von den rechtwinkligen Koordinaten x und y abhangig, so stellt die zum Geschwindigkeitspotential u (x, y) konjugierte Funktion v (x, y) die sogenannte Stromfunktion dar. Die Kurven u (x, y) = konstant stellen die Niveaulinien, diejenigen v (x, y) = konstant die Stromlinien der betrachteten Stro…
Integraltransformationen und Integralumkehrungen
1948
Die Funktionen, die in diesem Kapitel auftreten, sollen in vielen Fallen den folgenden Bedingungen genugen: Ist f (t) eine reelle Funktion der reellen Variablen t, so soll f(t) stuckweise zweimal stetig differentiierbar sein; die Punkte, in denen dies nicht der Fall ist, sollen sich im Endlichen nirgends haufen, undes sollen die Grenzwerte von f′(t) oder \( \frac{1}{{f'(t)}} \) bei beiderseitiger Annaherung an dieselben existieren. An Sprungstellen t 0 soll gelten: $$ f({t_0}) = {\textstyle{1 \over 2}}\mathop {[\lim }\limits_{t \to {t_0} + 0} f(t) + \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0} - 0} f(t)] $$ Wenn Gultigkeitsbedingungen fur Formeln oder Satze angemerkt sind, sind sie meist hinreichend…
Die hypergeometrische Funktion
1948
Hypergeometrische Funktionen werden die Losungen der hypergeometrischen Differentialgleichung Open image in new window genannt; eine bei z = 0 regulare Losung dieser Differentialgleichung wird gegeben durch die hypergeometrische Reihe Open image in new window .