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Otto Toeplitz
Das bestimmte Integral
In der Vorrede zu der Arbeit uber die Parabelquadratur sagt Archimedes: Viele Mathematiker haben sich bemuht, den Kreis zu quadrieren oder die Ellipse, oder ein Kreissegment, oder ein Segment einer Ellipse, oder einer Hyperbel, und ihre Aufbauten von Hilfssatzen, die sie dazu machten, sind allgemein als nicht einwandfrei befunden worden. Es ist aber noch keiner auf den Gedanken gekommen, das Segment der Parabel zu behandeln. Und gerade dieses last sich quadrieren.
Differential- und Integralrechnung
Tangentenaufgaben sind leichter als die Bestimmung von Flacheninhalten. Das war den Griechen schon wohlbekannt. Der Inhalt des Kreises, der Ellipse war unangreifbar. Die Tangente in einem Punkt P an den Kreis zu zeichnen (Abb. 63), war ganz leicht: man errichtet in P die Senkrechte auf OP, dem Radius. Bei der Ellipse ergab sich die Konstruktion der Tangente in einem Punkt P der Ellipse aus dem Satz, das die Tangente in P mit den Strahlen von P aus nach den beiden Brennpunkten gleiche Winkel bildet (Abb. 64). Ahnlich bei der Hyperbel. Wir finden viele Tangentenaufgaben bei den Griechen behandelt. In der Arbeit uber die Spirale — wir nennen diese Spirale heute die Archimedische Spirale — tut …
Das Wesen des unendlichen Prozesses
Analytische Geometrie einerseits und Differential- und Integralrechnung oder, wie es umfassender und zutreffender heist, Infinitesimalrechnung andererseits sind die beiden hauptsachlichen Anfangervor-lesungen, die der mathematische Universitatsunterricht bei uns aufweist. Ihre gegenseitige Abgrenzung scheint durch den Namen allein hinreichend klargestellt: von Geometrie handelt die eine, von Rechnung die andere. Jedoch ist dieses Scheidungsprinzip nicht eigentlich stichhaltig; infinitesimale Prozesse konnen ebensogut an geometrische Gebilde angeknupft werden wie an rechnerische, und die Geometrie der Gebilde ersten und zweiten Grades in Ebene und Raum kann in einer rein rechnerischen Determ…