p –adische Zahlen

Im Abschnitt 8 haben wir quadratische Gleichungen im Korper 𝔽p=𝔽/p𝔽gelost.Wie kann man Gleichungen in den Ringen 𝔽/p k𝔽,die ja noch nicht einmal Integritatsringe sind, losen?

Theta-characteristics on singular curves

On a smooth curve a theta–characteristic is a line bundle L with square that is the canonical line bundle ω. The equivalent conditionHom(L, ω) ∼= L generalizes well to singular curves, as applications show. More precisely, a theta–characteristic is a torsion–free sheaf F of rank 1 with Hom(F , ω) ∼= F . If the curve has non ADE–singularities then there are infinitely many theta–characteristics. Therefore, theta–characteristics are distinguished by their local type. The main purpose of this article is to compute the number of even and odd theta–characteristics (i.e. F with h(C,F) ≡ 0 resp. h(C,F) ≡ 1 modulo 2) in terms of the geometric genus of the curve and certain discrete invariants of a …

Die Ringeℤ/nℤ

In diesem Abschnitt wollen wir die Ergebnisse des letzten abstrahieren und vertiefen. Wir starten mit der folgenden offensichtlichen Bemerkung.

Der Satz von Hasse–Minkowski

Die Struktur der Einheitengruppen Un

Nachdem wir im letzten Abschnitt samtliche endlichen abelschen Gruppen kennengelernt haben, stellt sich naturlich die Frage, welche Struktur die Gruppe Un hat. Wegen des chinesischen Restsatzes in der Form von Lemma 5.13 konnen wir uns auf den Fall n =pr beschranken. Wir werden zeigen, dass alle diese Gruppen Upr zyklisch sind — mit Ausnahme der U 2r fur r≥3.

Self-dual modules over local rings of curve singularities

Abstract Let C be a reduced curve singularity. C is called of finite self-dual type if there exist only finitely many isomorphism classes of indecomposable, self-dual, torsion-free modules over the local ring of C . In this paper it is shown that the singularities of finite self-dual type are those which dominate a simple plane singularity.

Die Klassenzahl quadratischer Zahlkörper

Ziel des Abschnittes ist es, einen Algorithmus zu entwickeln, mit dem wir ein Reprasentantensystem der Idealklassengruppe eines quadratischen Zahlkorpers bestimmen konnen. Dazu bringen wir zunachst die ganzen Ideale von ℴ K in eine Normalform.

Der ggT und der euklidische Algorithmus

Teilertheorie im Ring ganzer Zahlen

In diesem Abschnitt wollen wir die Einheiten des Ringes ganzer Zahlen eines Zahlkorpers bestimmen — oder zumindest Aussagen uber die Struktur dieser Gruppe machen. Wir werden das fur quadratische Zahlkorper genau durchfuhren und die Ergebnisse uber beliebige Zahlkorper zitieren.

Endlich erzeugte abelsche Gruppen

In den letzten Abschnitten haben wir die Ringe ℤ und ℤn ℤ kennengelernt, in diesem Abschnitt betrachten wir nur noch ihre additive Gruppenstruktur. Ziel des Abschnittes ist es zu zeigen, dass jede endlich erzeugte abelsche Gruppe ein direktes Produkt aus diesen Gruppen ist. Starten wir mit einigen Definitionen.

Quadratrestklassen und Hilbert–Symbole