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AUTHOR
Dirk Van Dalen
The birth and youth of Compositio Mathematica: ‘Ce périodique foncièrement international’
The journal Compositio Mathematica was founded by Luitzen E. J. Brouwer to counter his dismissal from the Mathematische Annalen in 1928. In spite of the economic crisis, Brouwer succeeded in finding a publisher (Noordhoff), an editorial board and subscribers. The founding took place at the time of the rise of the Third Reich, which caused problems of a political nature. The German editors followed Ludwig Bieberbach in 1934 when he left the board because Brouwer refused to dismiss the Jewish editors. After a period of flourishing, the publication was suspended at the beginning of the occupation of Holland in 1940. The post-war restart of the journal led to a painful conflict between Brouwer …
Das Haupttheorem der finiten Mengen
Wir betrachten eine beliebige Menge M. Sei μ die M zugrunde liegende abzahlbar unendliche Menge der endlichen (gehemmten und ungehemmten) Wahlfolgen Fsn1…n2, wo s und die nυ die fur die betreffende Wahlfolge der Reihe nach gewahlten naturlichen Zahlen vorstellen, und wobei wir ohne Einschrankung der Tragweite des Beweises von ungehemmten, beendigten Wahlfolgen Abstand nehmen konnen.
Hauptbegriffe über reelle Funktionen einer Veränderlichen
Wir legen dem Folgenden die Cartesische Ebene mit x- und y-Axe zugrunde und definieren auf diesen Axen besondere Punktspecies x bezw. y, die wir als Punktkerne bezeichnen.
Mathematik, Wissenschaft und Sprache
Mathematik, Wissenschaft und Sprache bilden die Hauptfunktionen der Aktivitat der Menschheit, mittels deren sie die Natur beherrscht und in ihrer Mitte die Ordnung aufrecht erhalt. Diese Funktionen finden ihren Ursprung in drei Wirkungsformen des Willens zum Leben des einzelnen Menschen: 1. die mathematische Betrachtung, 2. die mathematische Abstraktion und 3. die Willensauferlegung durch Laute.
Grundlagen aus der Theorie der Punktmengen
Wir denken uns in einer Ebene ein rechtwinkliges Koordinatenkreuz Oxy gezeichnet und zerlegen die Ebene in Quadrate κ1 mit der Seitenlange 1, deren Eckpunte ν ganzzahlige Koordinaten besitzen. Jedes dieser Quadrate κ1 zerlegen wir in vier Kongruente, homothetische Teilquadrate κ2 von der Seitenlange \( \frac{1}{2} = 2^{1-2}\) und definieren, in dieser Weise fortfahrend, Quadrate κ3, κ4, . . . . Unter einem Quadrat κ oder κ-Quadrat verstehen wir dann ein Quadrat κν mit willkurlichen Index ν.
Der Gegenstand der intuitionistischen Mathematik: Spezies, Punkte und Räume. Das Kontinuum
Zwei Mengenelemente heissen gleich oder identisch, wenn man sicher ist, dass fur jedes n die n-te Wahl fur beide Elemente dasselbe Zeichen erzeugt, und verschieden wenn die Unmoglichkeit ihrer Gleichheit feststeht, d.h. wenn man Sicherheit hat, dass sich im Laufe ihrer Erzeugung nie ihre Gleichheit wird beweisen lassen. Die Identitat mit einem beliebigen Elemente der Menge M, bzw. mit dem Mengenelement e, werden wir als die Mengenspezies, oder kurz als die Menge, M, bzw. als die Elementspezies oder kurz als das Element e bezeichnen.
Intuitionistische Kritik an einigen elementaren Theoremen
Zahlen wir nun aber die zwischen 0 und 1 gelegenen irreduziblen endlichen Dualbruche (ausschliesslich 0 und 1) in ublicher Weise durch eine Fundamentalreihe δ1, δ2 . . . ab, verstehen wir unter gn(x) die Funktion, die fur x = δn den Wert \( 2^{-n}\) besitzt, fur x = 0 sowie fur x = 1 verschwindet, wahrend sie sowohl zwischen x = 0 und x = δn wie zwischen x = δn und x = 1 linear verlauft, und setzen wir fn(x) = gn(x) fur n = k1, sonst fn(x) = 0, so besitzt die volle Funktion des Einheitskontinuums \(f(x)= \sum\limits_{n = 1}^{\infty } {f_{n} (x)} \) kein Maximum, womit der Existenzsatz des Maximums hinfallig geworden ist.
Analyse des Kontinuums
Bei der klassischen Auffassung, welche das Kontinuum als vollstandig geordnet betrachtete, stellen sich als wesentlichen Eigenschaften dieser Spezies heraus, dass sie uberall dicht, in sich dicht, zusammenhangend und kompakt war; wir wollen untersuchen, inwiefern sich diese Eigenschaften nach passender Modifizierung in der intuitionistischen Theorie aufrecht erhalten lassen.
Historische Stellung des Intuitionismus
Der Intuitionismus hat seine historische Stellung im Rahmen der Geschichte der Anschauung erstens uber den Ursprung der mathematischen Exaktheit; zweitens uber die Umgrenzung der als sinnvoll zu betrachtenden Mathematik [1]. In dieser Geschichte sind hauptsachlich drei Perioden zu unterscheiden.