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Hilberträume und ihre Abbildungen

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Auf Vektorraumen uber ℝ oder ℂ mit definitem Skalarprodukt definieren wir uber das Skalarprodukt eine Norm. Damit sind die Ergebnisse der Kapitel 6 und 7 verfugbar. Dies fuhrt zur reichen Theorie der Hilbertraume. Unsere algebraischen Methoden erzwingen freilich weitgehend eine Beschrankung auf Hilbertraume endlicher Dimension, denn dann ist die Komplettheit automatisch gegeben. Fur Hilbertraume von endlicher Dimension betrachten wir eingehend lineare Abbildungen, die bezuglich des Skalarproduktes ein spezielles Verhalten zeigen, namlich die normalen, unitaren und hermiteschen Abbildungen. Die Eigenwerttheorie der hermiteschen Matrizen findet in 8.5 und 8.6 Anwendung bei der technisch wichtigen Behandlung linearer Schwingungen. Hier kommen die Ergebnisse dieses Kapitels mit den Satzen uber lineare Differentialgleichungen aus 6.4 zusammen. Um langere physikalische Ausfuhrungen zu vermeiden, beschranken wir uns bei der Behandlung linearer Schwingungen auf Beispiele aus der Mechanik.