Gruppen, deren nichtlineare Charaktere von symplektischem Typ sind

Vektorräume mit Skalarprodukt

In diesem Kapitel fuhren wir Skalarprodukte auf Vektorraumen uber beliebigen Korpern ein. Dies fuhrt zu einem Orthogonalitatsbegriff und orthogonalen Zerlegungen. Auf die klassischen ℂ- oder ℝ-Vektorraume mit definitem Skalarprodukt gehen wir dann in den Kapiteln 8 und 9 ausfuhrlich ein. Ab 7.3 interessieren uns Vektorraume mit isotropen Vektoren. Dazu geben wir zwei ganz verschiedene Anwendungen. In 7.4 verwenden wir fur endliche Korper K das kanonische Skalarprodukt auf \( K^n \), um den Dualen eines Codes C ≤ \( K^n \) zu definieren. Dies liefert weitere Beispiele von interessanten Codes und allgemeine Strukturaussagen. In 7.5 versehen wir den Vektorraum ℝ4 mit einem indefiniten Skalarpr…

On the Quadratic Type of Some Simple Self-Dual Modules over Fields of Characteristic Two

Let G be a finite group and let K be an algebraically closed field of Ž characteristic 2. Let V be a non-trivial simple self-dual KG-module we . say that V is self-dual if it is isomorphic to its dual V * . It is a theorem of w x Fong 4, Lemma 1 that in this case there is a non-degenerate G-invariant alternating bilinear form, F, say, defined on V = V. We say that V is a KG-module of quadratic type if F is the polarization of a non-degenerate w x G-invariant quadratic form defined on V. In a previous paper 6 , the present authors described some methods to decide if such a module V is of w x quadratic type. One of the main results of 6 is the following. Suppose that Ž . G is a group with a s…

A Note on Perturbations of Stochastic Matrices

Lineare Abbildungen und Matrizen

Nutzliche Abbildungen auf Mengen mit algebraischen Strukturen sind solche, die die gegebenen Strukturen respektieren. Fur die Vektorraume sind dies die linearen Abbildungen bzw. deren ubersetzung in die Sprache der Matrizen. Nach einer eingehenden Behandlung der Theorie gehen wir auf stochastische Matrizen als erste Anwendung ein. Diese spielen eine wichtige Rolle bei der Behandlung von sogenannten stochastischen Prozessen, etwa bei Mischprozessen, Glucksspielen und Modellen zur Genetik. Nach kurzen Abschnitten uber Spur, Projektionen und die zugehorigen Vektorraumzerlegungen folgt eine Einfuhrung in die Codierungstheorie, die sich mit der Korrektur von zufalligen Fehlern bei der Datenubert…

On p-chief factors of finite groups

(1985). On p-chief factors of finite groups. Communications in Algebra: Vol. 13, No. 11, pp. 2433-2447.

The Representation Type of the Centre of a Group Algebra

Weitere Eigenwertabschätzungen für stochastische Matrizen

Wie wir im Anschlus an 3.2 bemerkten, bestimmen die im Innern des Einheitskreises der komplexen Ebene liegenden Eigenwerte einer stochastischen Matrix A wesentlich die Konvergenzgeschwindigkeit der Folge der A k. Um fur diese Eigenwerte Abschatzungen nach oben zu gewinnen, erganzen wir die Betrachtungen aus 2.4 und 2.5.

On irreducible representations ofp-soluble groups in characteristicp

Mengen und Abbildungen

In diesem kurzen Kapitel fuhren wir in die Sprache der Mengenlehre ein und behandeln einige Grundbegriffe uber Abbildungen und Mengen. Der abschliesende Abschnitt ist dem Abzahlen gewidmet. Hier stehen Methoden (Inklusions-Exklusions-Prinzip, doppeltes Abzahlen) im Vordergrund, die sich als sehr nutzlich erweisen werden und die der Anfanger fruhzeitig erlernen sollte.

Hilberträume und ihre Abbildungen

Auf Vektorraumen uber ℝ oder ℂ mit definitem Skalarprodukt definieren wir uber das Skalarprodukt eine Norm. Damit sind die Ergebnisse der Kapitel 6 und 7 verfugbar. Dies fuhrt zur reichen Theorie der Hilbertraume. Unsere algebraischen Methoden erzwingen freilich weitgehend eine Beschrankung auf Hilbertraume endlicher Dimension, denn dann ist die Komplettheit automatisch gegeben. Fur Hilbertraume von endlicher Dimension betrachten wir eingehend lineare Abbildungen, die bezuglich des Skalarproduktes ein spezielles Verhalten zeigen, namlich die normalen, unitaren und hermiteschen Abbildungen. Die Eigenwerttheorie der hermiteschen Matrizen findet in 8.5 und 8.6 Anwendung bei der technisch wicht…

Normalformen von Matrizen

Wir beginnen dieses Kapitel mit der Einfuhrung von Polynomen. Die arithmetischen Eigenschaften des Polynomrings K[x] sind entscheidend fur die spateren Untersuchungen. In 5.2 fuhren wir den Idealbegriff ein, welcher ubersichtliche Beweise gestattet. Fur Hauptidealringe, wie etwa K[x] oder auch ℤ, entwickeln wir in 5.3 eine ausfuhrliche Theorie. Die Begriffe groster gemeinsamer Teiler, kleinstes gemeinsames Vielfaches und Primfaktorzerlegung erhalten hier ihre systematische Fundierung. Abschnitt 5.4 uber das charakteristische Polynom und Eigenwerte ist der erste Schritt zu einem genauen Studium von linearen Abbildungen. In physikalischen und technischen Anwendungen sind Eigenwerte unerlaslic…

Mischen von Spielkarten

Seien t Spielkarten vorgegeben (etwa t = 32). Als Zustande des zu beschreibenden Systems wahlen wir die n = t! moglichen Lagen der t Karten. Ferner sei vorgegeben eine „Verteilung“ p auf der symmetrischen Gruppe St mit p(π) ≥ 0 fur alle π ∈ St und $$\sum\limits_{\pi \in S_{t}} p(\pi) = 1.$$

MetrischeG-Moduln �ber K�rpern der Charakteristik 2

Normierte Vektorräume und Algebren

Auf Vektorraumen uber ℝ oder ℂ fuhren wir einen Langenbegriff ein, eine Norm. Dies fuhrt zum Grenzwertbegriff auf solchen Vektorraumen. Der Normbegriff ist noch sehr allgemein. Neben dem Langenbegriff der euklidischen Geometrie enthalt er eine den stochastischen Matrizen angepaste Norm. Jede Norm auf Vektorraumen induziert eine Norm fur lineare Abbildungen und Matrizen. So wird End(V) eine normierte Algebra. Die wichtigsten Ergebnisse im Abschnitt 6.2 sind der Ergodensatz 6.2.8 uber Kontraktionen und die Formel 6.2.10 fur den Spektralradius. Als Anwendung beweisen wir in 6.3 den Satz von Perron-Frobenius uber nichtnegative Matrizen, der Aussagen uber den Spektralradius und die zugehorenden …

On the projectives of a group algebra

When is a 𝑝-block a 𝑞-block?

Let p p and q q be distinct prime numbers and let G G be a finite group. If B p B_{p} is a p p -block of G G and B q B_{q} is a q q -block, we study when the set of ordinary irreducible characters in the blocks B p B_{p} and B q B_{q} coincide.

p-Brauer characters ofq-defect 0

For ap-solvable groupG the number of irreducible Brauer characters ofG with a given vertexP is equal to the number of irreducible Brauer characters of the normalizer ofP with vertexP. In this paper we prove in addition that for solvable groups one can control the number of those characters whose degrees are divisible by the largest possibleq-power dividing the order of |G|.

Eigenwerte stochastischer Matrizen

Zur Behandlung der Konvergenzfrage aus 1.4 furen wir auf dem ℂ-Vektor- raum der Matrizen vom Typ (n,n) mit komplexen Koeffizienten Normen ein:

Irrfahrten und verwandte Probleme

Wir beweisen zuerst einen Satz uber die Eigenwerte von reellen Jacobi-Matrizen (auch Dreibandmatrizen genannt), welche nicht notwendig stochastisch sein mussen.

Euklidische Vektorräume und orthogonale Abbildungen

Mit den Hilbertraumen von endlicher Dimension uber ℝ, den euklidischen Vektorraumen, sind wir bei der klassischen Geometrie angekommen. Hier gibt es neben Langen auch Winkel zwischen Vektoren. Ausfuhrlich behandeln wir die Isometrien euklidischer Vektorraume, die orthogonalen Abbildungen. Am Spezialfall der orthogonalen Gruppen schildern wir die Methode der infinitesimalen Abbildungen, die in der Lieschen Theorie eine zentrale Rolle spielt. Als Nebenprodukt erhalten wir einen naturlichen Zugang zum vektoriellen Produkt im ℝ3. Wir fuhren den Schiefkorper der Quaternionen ein und untersuchen mit seiner Hilfe die orthogonalen Gruppen in der Dimension drei und vier. Zum Abschlus bestimmen wir a…

MMD codes in a more general sense

Summary form only given. The author deals with the characterisation of maximum minimum distance (MMD) codes in a more general sense, which has been completed in a joint work with Olsson. As in the m=1 case the weight distribution of an MMD code /spl Cscr/ is uniquely determined by its parameters [n,k,d]/sub q/.

Abgeleitete stochastische Matrizen

Einfuhrung. Gegeben seien zwei stochastische Prozesse mit den zugehorigen Zustandsmengen Zk und den Ubergangsmatrizen Ak = (aij[k]) (k = 1,2). Wir definieren einen neuen stochastischen Prozes auf folgende Weise:

Prozesse mit absorbierenden Zuständen

Viele stochastische Matrizen, die aus interessanten Prozessen stammen, sind nicht unzerlegbar, sondern weisen sog. absorbierende Zustande auf. Mit solchen Matrizen beschaftigen wir uns in diesem Paragraphen.