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RESEARCH PRODUCT

Normierte Vektorräume und Algebren

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Auf Vektorraumen uber ℝ oder ℂ fuhren wir einen Langenbegriff ein, eine Norm. Dies fuhrt zum Grenzwertbegriff auf solchen Vektorraumen. Der Normbegriff ist noch sehr allgemein. Neben dem Langenbegriff der euklidischen Geometrie enthalt er eine den stochastischen Matrizen angepaste Norm. Jede Norm auf Vektorraumen induziert eine Norm fur lineare Abbildungen und Matrizen. So wird End(V) eine normierte Algebra. Die wichtigsten Ergebnisse im Abschnitt 6.2 sind der Ergodensatz 6.2.8 uber Kontraktionen und die Formel 6.2.10 fur den Spektralradius. Als Anwendung beweisen wir in 6.3 den Satz von Perron-Frobenius uber nichtnegative Matrizen, der Aussagen uber den Spektralradius und die zugehorenden Eigenvektoren macht. Ferner studieren wir in 6.4 die Exponentialfunktion von Matrizen und losen Systeme von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. In 8.5 und 8.6 kommen wir darauf zuruck und behandeln, dann ausgerustet mit der Eigenwerttheorie symmetrischer Matrizen, lineare Schwingungen. Mit Hilfe des Ergodensatzes bringen wir in 6.5 die Theorie der stochastischen Matrizen zu einem Abschlus und behandeln weitere Beispiele (Mischprozesse, Irrfahrten).