Inequalities for character degrees of solvable groups

Orbit sizes ofp-groups

Vektorräume mit Skalarprodukt

In diesem Kapitel fuhren wir Skalarprodukte auf Vektorraumen uber beliebigen Korpern ein. Dies fuhrt zu einem Orthogonalitatsbegriff und orthogonalen Zerlegungen. Auf die klassischen ℂ- oder ℝ-Vektorraume mit definitem Skalarprodukt gehen wir dann in den Kapiteln 8 und 9 ausfuhrlich ein. Ab 7.3 interessieren uns Vektorraume mit isotropen Vektoren. Dazu geben wir zwei ganz verschiedene Anwendungen. In 7.4 verwenden wir fur endliche Korper K das kanonische Skalarprodukt auf \( K^n \), um den Dualen eines Codes C ≤ \( K^n \) zu definieren. Dies liefert weitere Beispiele von interessanten Codes und allgemeine Strukturaussagen. In 7.5 versehen wir den Vektorraum ℝ4 mit einem indefiniten Skalarpr…

A Note on Perturbations of Stochastic Matrices

Elements of General Representation Theory

In Chapter V, classical representation theory was studied. This is the theory of the group-ring KG and the KG-modules, where K is an algebraically closed field of characteristic 0. (Many theorems remain valid under the hypothesis that K is algebraically closed and that char K does not divide the order of G). In this case, KG is semisimple and all KG-modules are completely reducible. For many purposes it is therefore sufficient to handle the irreducible representations.

Lineare Abbildungen und Matrizen

Nutzliche Abbildungen auf Mengen mit algebraischen Strukturen sind solche, die die gegebenen Strukturen respektieren. Fur die Vektorraume sind dies die linearen Abbildungen bzw. deren ubersetzung in die Sprache der Matrizen. Nach einer eingehenden Behandlung der Theorie gehen wir auf stochastische Matrizen als erste Anwendung ein. Diese spielen eine wichtige Rolle bei der Behandlung von sogenannten stochastischen Prozessen, etwa bei Mischprozessen, Glucksspielen und Modellen zur Genetik. Nach kurzen Abschnitten uber Spur, Projektionen und die zugehorigen Vektorraumzerlegungen folgt eine Einfuhrung in die Codierungstheorie, die sich mit der Korrektur von zufalligen Fehlern bei der Datenubert…

Nilpotente Gruppen und p-Gruppen

Die Sylowschen Satze zeigen, das die Gruppen von Primzahl-potenzordnung in der Theorie der endlichen Gruppen eine ausgezeichnete Rolle spielen. Freilich ist der Aufbau einer endlichen Gruppe aus ihren Sylowgruppen meist eine sehr schwierige Aufgabe. Im Falle der auflosbaren Gruppen gibt die Theorie der Sylowsysteme von P. Hall und die Theorie der p-Lange von P. Hall und G. Higman wichtige Einblicke; darauf gehen wir in Kapitel VI ein. Bei einfachen Gruppen steht die Einsicht in den Aufbau der Gruppe aus ihren Sylowgruppen noch in den Anfangen. Die Arbeiten von Thompson uber einfache Gruppen haben jedoch schon wichtige Einblicke gegeben und die Theorie der p-Gruppen in neue Bahnen gelenkt.

Weitere Eigenwertabschätzungen für stochastische Matrizen

Wie wir im Anschlus an 3.2 bemerkten, bestimmen die im Innern des Einheitskreises der komplexen Ebene liegenden Eigenwerte einer stochastischen Matrix A wesentlich die Konvergenzgeschwindigkeit der Folge der A k. Um fur diese Eigenwerte Abschatzungen nach oben zu gewinnen, erganzen wir die Betrachtungen aus 2.4 und 2.5.

Mengen und Abbildungen

In diesem kurzen Kapitel fuhren wir in die Sprache der Mengenlehre ein und behandeln einige Grundbegriffe uber Abbildungen und Mengen. Der abschliesende Abschnitt ist dem Abzahlen gewidmet. Hier stehen Methoden (Inklusions-Exklusions-Prinzip, doppeltes Abzahlen) im Vordergrund, die sich als sehr nutzlich erweisen werden und die der Anfanger fruhzeitig erlernen sollte.

Hilberträume und ihre Abbildungen

Auf Vektorraumen uber ℝ oder ℂ mit definitem Skalarprodukt definieren wir uber das Skalarprodukt eine Norm. Damit sind die Ergebnisse der Kapitel 6 und 7 verfugbar. Dies fuhrt zur reichen Theorie der Hilbertraume. Unsere algebraischen Methoden erzwingen freilich weitgehend eine Beschrankung auf Hilbertraume endlicher Dimension, denn dann ist die Komplettheit automatisch gegeben. Fur Hilbertraume von endlicher Dimension betrachten wir eingehend lineare Abbildungen, die bezuglich des Skalarproduktes ein spezielles Verhalten zeigen, namlich die normalen, unitaren und hermiteschen Abbildungen. Die Eigenwerttheorie der hermiteschen Matrizen findet in 8.5 und 8.6 Anwendung bei der technisch wicht…

Normalformen von Matrizen

Wir beginnen dieses Kapitel mit der Einfuhrung von Polynomen. Die arithmetischen Eigenschaften des Polynomrings K[x] sind entscheidend fur die spateren Untersuchungen. In 5.2 fuhren wir den Idealbegriff ein, welcher ubersichtliche Beweise gestattet. Fur Hauptidealringe, wie etwa K[x] oder auch ℤ, entwickeln wir in 5.3 eine ausfuhrliche Theorie. Die Begriffe groster gemeinsamer Teiler, kleinstes gemeinsames Vielfaches und Primfaktorzerlegung erhalten hier ihre systematische Fundierung. Abschnitt 5.4 uber das charakteristische Polynom und Eigenwerte ist der erste Schritt zu einem genauen Studium von linearen Abbildungen. In physikalischen und technischen Anwendungen sind Eigenwerte unerlaslic…

Mischen von Spielkarten

Seien t Spielkarten vorgegeben (etwa t = 32). Als Zustande des zu beschreibenden Systems wahlen wir die n = t! moglichen Lagen der t Karten. Ferner sei vorgegeben eine „Verteilung“ p auf der symmetrischen Gruppe St mit p(π) ≥ 0 fur alle π ∈ St und $$\sum\limits_{\pi \in S_{t}} p(\pi) = 1.$$

Verlagerung und p-nilpotente Gruppen

Eine der wichtigsten Aufgaben der Gruppentheorie ist der Nachweis der Nichteinfachheit oder sogar der Auflosbarkeit einer vorgegebenen Gruppe. Neben den elementaren, nicht sehr weit tragenden Uberlegungen, die wir in I, § 8 und den anschliesenden Aufgaben beschrieben haben, stehen dazu zwei wirksame Methoden zur Verfugung : Die in diesem Kapitel betrachtete Methode der monomialen Darstellungen und der Verlagerung, ferner die in Kapitel V und Band 2 behandelten Gruppencharaktere.

Normierte Vektorräume und Algebren

Auf Vektorraumen uber ℝ oder ℂ fuhren wir einen Langenbegriff ein, eine Norm. Dies fuhrt zum Grenzwertbegriff auf solchen Vektorraumen. Der Normbegriff ist noch sehr allgemein. Neben dem Langenbegriff der euklidischen Geometrie enthalt er eine den stochastischen Matrizen angepaste Norm. Jede Norm auf Vektorraumen induziert eine Norm fur lineare Abbildungen und Matrizen. So wird End(V) eine normierte Algebra. Die wichtigsten Ergebnisse im Abschnitt 6.2 sind der Ergodensatz 6.2.8 uber Kontraktionen und die Formel 6.2.10 fur den Spektralradius. Als Anwendung beweisen wir in 6.3 den Satz von Perron-Frobenius uber nichtnegative Matrizen, der Aussagen uber den Spektralradius und die zugehorenden …

Eigenwerte stochastischer Matrizen

Zur Behandlung der Konvergenzfrage aus 1.4 furen wir auf dem ℂ-Vektor- raum der Matrizen vom Typ (n,n) mit komplexen Koeffizienten Normen ein:

Irrfahrten und verwandte Probleme

Wir beweisen zuerst einen Satz uber die Eigenwerte von reellen Jacobi-Matrizen (auch Dreibandmatrizen genannt), welche nicht notwendig stochastisch sein mussen.

Zur Theorie der Formationen

Local Finite Group Theory

The word local is used in finite group-theory in relation to a fixed prime p; thus properties of p-subgroups or their normalisers, for example, are regarded as local. In the case of a soluble group, then, everything is local, but an insoluble group also has global aspects. Now the local behaviour influences the global, that is, there are theorems in which the hypothesis involves only p-subgroups and their normalisers, but the conclusion involves the whole group. This chapter is an introduction to theorems of this sort.

Singer-Zyklen in klassischen Gruppen

Euklidische Vektorräume und orthogonale Abbildungen

Mit den Hilbertraumen von endlicher Dimension uber ℝ, den euklidischen Vektorraumen, sind wir bei der klassischen Geometrie angekommen. Hier gibt es neben Langen auch Winkel zwischen Vektoren. Ausfuhrlich behandeln wir die Isometrien euklidischer Vektorraume, die orthogonalen Abbildungen. Am Spezialfall der orthogonalen Gruppen schildern wir die Methode der infinitesimalen Abbildungen, die in der Lieschen Theorie eine zentrale Rolle spielt. Als Nebenprodukt erhalten wir einen naturlichen Zugang zum vektoriellen Produkt im ℝ3. Wir fuhren den Schiefkorper der Quaternionen ein und untersuchen mit seiner Hilfe die orthogonalen Gruppen in der Dimension drei und vier. Zum Abschlus bestimmen wir a…

Linear Methods in Nilpotent Groups

The subject of this chapter is commutator calculation. It will be recalled that the commutator [x, y] of two elements x, y of a group is defined by the relation $$ [x,y] = {{x}^{{ - 1}}}{{y}^{{ - 1}}}xy. $$ . We then have $$ [xy,z] = {{[x,z]}^{y}}[y,z],\quad [x,yz] = [x,z]{{[x,y]}^{z}}. $$ . These relations are rather similar to the conditions for bilinearity of forms, and there are a number of ways of formalizing this similarity. Once this is done, commutator calculations can be done by linear methods. Several examples of theorems proved by this method will be given in this chapter.

Degree-problems I squarefree character degrees

A remark on the character-degrees of somep-groups

Multiply Transitive Permutation Groups

Since the beginnings of finite group theory, the multiply transitive permutation groups have exercised a certain fascination. This is mainly due to the fact that apart from the symmetric and alternating groups not many of them were known. Only very recently final results about multiply transitive permutation groups have been proved, using the classification of all finite simple groups (see 7.5).

Permutationsgruppen und lineare Gruppen

Abgeleitete stochastische Matrizen

Einfuhrung. Gegeben seien zwei stochastische Prozesse mit den zugehorigen Zustandsmengen Zk und den Ubergangsmatrizen Ak = (aij[k]) (k = 1,2). Wir definieren einen neuen stochastischen Prozes auf folgende Weise:

Prozesse mit absorbierenden Zuständen

Viele stochastische Matrizen, die aus interessanten Prozessen stammen, sind nicht unzerlegbar, sondern weisen sog. absorbierende Zustande auf. Mit solchen Matrizen beschaftigen wir uns in diesem Paragraphen.

Isometrien von Vektorr�umen. II