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Normalformen von Matrizen

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Wir beginnen dieses Kapitel mit der Einfuhrung von Polynomen. Die arithmetischen Eigenschaften des Polynomrings K[x] sind entscheidend fur die spateren Untersuchungen. In 5.2 fuhren wir den Idealbegriff ein, welcher ubersichtliche Beweise gestattet. Fur Hauptidealringe, wie etwa K[x] oder auch ℤ, entwickeln wir in 5.3 eine ausfuhrliche Theorie. Die Begriffe groster gemeinsamer Teiler, kleinstes gemeinsames Vielfaches und Primfaktorzerlegung erhalten hier ihre systematische Fundierung. Abschnitt 5.4 uber das charakteristische Polynom und Eigenwerte ist der erste Schritt zu einem genauen Studium von linearen Abbildungen. In physikalischen und technischen Anwendungen sind Eigenwerte unerlaslich, werden doch die Frequenzen schwingungsfahiger Systeme in Mechanik und Elektrodynamik als Eigenwerte von Matrizen ermittelt. Wir kommen darauf in 8.5 zuruck. Kaum weniger wichtig ist die in 5.5 entwickelte Theorie des Minimalpolynoms, denn sie liefert Kriterien fur die Diagonalisierbarkeit von Matrizen.