Contextualizing Unguru’s 1975 Attack on the Historiography of Ancient Greek Mathematics

2016

In 1975 S. Unguru published his controversial paper on the need to rewrite the history of ancient Greek mathematics. The origin of the paper is sketched according to Unguru’s own story, and then the paper is contextualized in some of the historiographic and disciplinary discussions and shifts taking place during the decade before its publication. The focus is not only on the history of (Greek) mathematics (J. Klein , A. Szabo , M. S. Mahoney ), but a rather broad approach is taken to capture the wider (U.S.-American, academic) discourse around questions of professionalisation of history of science/mathematics. This analysis shows the complexity of the discursive field in which Unguru’s pape…

Spinorkalkül und Wellengleichung

2011

In diesem Kapitel wird van der Waerdens erste Arbeit zum Spinorkalkul vorgestellt. Sie erschien 1929 unter dem Titel „ Spinoranalyse“ und gliederte sich grob in zwei Teile. Im ersten Teil (§ 1 – § 3) wird der Spinorkalkul entwickelt, im zweiten Teil (§ 4 u. § 5) werden verschiedene relativistische Wellengleichungen fur das Elektron, darunter auch die Diracsche, aufgestellt und diskutiert. Das Interesse liegt hier vor allem auf dem Einfluss von Ehrenfest Inwiefern zeigt sich dieser in der Arbeit? Um eine Antwort darauf zu finden, wird einerseits der Briefwechsel zwischen Ehrenfest und van der Waerden herangezogen, andererseits wird auf van der Waerdens Darstellung des mathematischen Hintergr…

Anwendungen der Gruppentheorie in der Quantenmechanik

2011

Der hier in der Uberschrift verwendete Begriff der „ Anwendung“ sollte nicht dahin gehend verstanden werden, dass die Darstellungstheorie im Rahmen der Quantenmechanik ohne Weiteres eingesetzt werden konnte. Anwendung im hier gemeinten Sinne bezeichnet vielmehr die Folge eines Zurichtens beider Seiten, der Gruppentheorie und der Quantenmechanik. Wie im Kapitel 3 erlautert, mussten die Anwendungsmoglichkeiten erst entdeckt und geschaffen werden. Die betreffenden Teilbereiche wurden dabei so aneinander angepasst und entwickelt, dass sie fur die Quantenmechanik nutzbar wurden. In diesem Prozess entstanden gruppentheoretische Werkzeuge fur den quantenmechanischen Gebrauch. Der Spinorkalkul ist …

Van der Waerden als Professor in Groningen (1928–1931)

2011

Van der Waerden trat seine erste Professur in Groningen im Oktober 1928 an. Er war dort bis April 1931 Ordinarius fur Geometrie. Im Folgenden wird seine Berufung und sein Wirken in Groningen dargestellt. Bemerkenswert fur die vorliegende Untersuchung sind dabei vor allem zwei Facetten Die beiden Physiker Coster und Ehrenfest setzten sich fur die Berufung van der Waerdens nach Groningen ein; die Groninger Antrittsrede zeigte van der Waerden als einen offenen, undogmatischen und hilfsbereiten Mathematiker.

Van der Waerden als Professor in Zürich (1951–1972)

2011

An die fur van der Waerden unruhigen Nachkriegsjahre in den Niederlanden schloss sich eine Zeit der Stabilitat an – zumindest was den Ort seiner Tatigkeit betraf. Van der Waerden blieb trotz manch eines Rufes an eine andere Universitat bis an sein Lebensende in Zurich tatig.

Book Review

2017

Darstellungstheorie vermittels Gruppen mit Operatoren

2011

Van der Waerden gab im zweiten Kapitel seiner Monographie auf nur vierunddreisig Seiten eine sehr dichte Einfuhrung in die Gruppen- bzw. Darstellungstheorie und umriss ihre Anwendungsmoglichkeiten in der Quantenmechanik. Dabei spielte das relativ neue Konzept der ‚ Gruppe mit Operatoren‘ eine zentrale Rolle – ein Konzept, das weder Wigner noch Weyl in ihren Lehrbuchern erwahnten und das fur den modernen strukturellen Zugang zur Algebra dieser Zeit typisch war. Im Folgenden wird nach einem kurzen Exkurs zur Entwicklung des Konzepts van der Waerdens Vorgehen bei der darstellungstheoretischen Einfuhrung skizziert. Am Beispiel des Beweises der Eindeutigkeit einer Zerlegung einer Darstellung in …

Der Spinorkalkül als Auftragsarbeit für Ehrenfest

2011

Die Kontakte mit Coster und Ehrenfest intensivierten sich, als van der Waerden die Professur in Groningen annahm. Ehrenfest wandte sich immer wieder mit Fragen an van der Waerden. Van der Waerden wurde so vorubergehend Teil eines losen Netzwerks um Ehrenfest. Die Akteure in diesem Netzwerk studierten auf Anregung Ehrenfests ab Sommer 1928 gruppentheoretische Methoden in der Quantenmechanik, insbesondere Wigner s und Weyls Arbeiten. Ehrenfest organisierte dazu eine Reihe von Gastvortragen, in der auch van der Waerden referierte. Diese Einbindung fuhrte schlieslich zu van der Waerdens erstem Beitrag zur Quantenmechanik. Die Entstehung des Spinorkalkuls kann sogar als eine Auftragsarbeit fur E…

Zur Entwicklung der Quantenmechanik

2011

Im Folgenden wird die Entwicklung der Quantenmechanik von der ersten Formulierung der Quantenhypothese durch Planck uber die Bohr-Sommerfeldsche Atomtheorie bis zur Formulierung der neuen Quantenmechanik durch Heisenberg , Dirac , Born , Jordan und Schrodinger skizziert. Die Darstellung endet mit der Aufstellung der mit der speziellen Relativitatstheorie vereinbaren Wellengleichung fur das Elektron durch Dirac 1928. Der Fokus liegt dabei mehr auf der konzeptionellen Entwicklung. Die Leistungen der Spektroskopie auf dem Gebiet der Klassifikation von atomaren und molekularen Spektren finden nur am Rande Eingang, ohne dass dadurch ihre Bedeutung fur die Theorieentwicklung in Abrede gestellt we…

Zur Geschichte der Darstellungstheorie

2011

Die Darstellungstheorie von Gruppen hat ihre Wurzeln in vielen verschiedenen Teilgebieten der Mathematik des 19. Jahrhunderts. Sie wurde beruhrt und/oder (weiter-)entwickelt zur Beantwortung von Fragen und Problemen der Lieschen Transformationsgruppen, der Invariantentheorie, der Theorie der Differentialgleichungen, der Geometrie, der Arithmetik oder der Algebra – dem Bereich, dem sie heute zugerechnet wird – aber auch in der Auseinandersetzung mit Grundlagenfragen der theoretischen Physik. In allen diesen Gebieten wurden Erkenntnisse gewonnen, welche sich fur die Darstellungstheorie als fundamental herausstellten. Dies geschah nicht selten beilaufig, da das eigentliche Forschungsinteresse …

Konstruktion von Darstellungen

2011

Neben der sehr unterschiedlichen Vorgehensweise von van der Waerden, Weyl und Wigner bei der Einfuhrung der wichtigsten Konzepte aus der Darstellungstheorie zeigen sich auch Unterschiede bei der Konstruktion von konkreten Darstellungen. Dies zeigt die folgende kurze Analyse, welche sich auf die Gruppen SL 2(ℂ), SU 2(ℂ), SO 3, die Liealgebra sl 2(ℂ) und die Lorentzgruppe beschrankt. Im Zentrum stehen dabei die mathematisch-technischen Fragen nach den verwendeten Darstellungsraumen, nach dem Aufzeigen von strukturellen Verbindungen zwischen ihnen und nach der Realisationsmoglichkeit der Darstellung in Form von konkreten Matrizen.

Van der Waerdens wissenschaftlicher Werdegang bis 1928

2011

Im Folgenden wird ein Uberblick uber van der Waerdens wissenschaftlichen Werdegang gegeben. Der Schwerpunkt liegt dabei, wie auch in den weiteren biographischen Kapiteln 5, 8, 17 und 18, auf den Beruhrungspunkten mit der Physik und damit nicht auf seinen diversen Beitragen zur reinen Mathematik, zur Geschichte der Mathematik und der Astronomie oder zur Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Letztere werden nur am Rande gestreift und deren Einbeziehung bleibt Aufgabe einer noch zu verfassenden wissenschaftlichen Biographie. Die hier vorgelegten biographischen Kapitel konnen als ein erster Schritt zu einer solchen gesehen werden.

Gruppentheorie und Quantenmechanik bis 1928

2011

Im Rahmen der neuen Quantenmechanik tauchten Uberlegungen zur Symmetrie von Problemen und zu ihrer darstellungstheoretische Erfassung bereits ab 1926 in Publikationen auf. Dabei ging es zunachst um Konstellationen, die mehrere gleiche Teilchen aufwiesen, wie etwa Atome mit mehreren Elektronen. Der Anwendungsbereich dehnte sich jedoch rasch aus.

Allgemein-relativistische Spinoren

2011

In diesem Kapitel wird der allgemein-relativistische Spinorkalkul behandelt, den Infeld und van der Waerden in den Jahren 1932 bis 1933 entwickelten. Wie bei dem ersten Artikel van der Waerdens zum Spinorkalkul kam der Anstos dazu von ausen, namlich durch den polnischen Physiker Infeld. Die mathematische Theorie fur das Aufstellen einer allgemein-relativistischen Wellengleichung fur ein Elektron bereitete Anfang der 1930er Jahre Physikern, nicht zuletzt Infeld selbst, Schwierigkeiten. Van der Waerden und Infeld hofften, durch ihre Ubertragung des Spinorkalkuls in den Kontext der allgemeinen Relativitatstheorie Abhilfe zu schaffen.

Wende hin zur angewandten Mathematik (1945–1951)

2011

An der Universitat Leipzig fiel das Sommersemester 1945 komplett aus. Alle Angestellten der Universitat wurden von der sowjetischen Besatzungsmacht entlassen. Die Familie van der Waerden wurde von den Amerikanern aus Osterreich, wo sie das Kriegsende verbracht hatte, per Bussen in die Niederlande transportiert. Die Ruckfuhrung der Auslander in ihre Heimat war gangige Politik der US-amerikanischen Besatzungsmacht. In den Niederlanden bezog die Familie das Haus der Eltern von van der Waerden in Laren in der Nahe Amsterdams. Die Eltern waren inzwischen beide tot.

Van der Waerden als Professor in Leipzig (1931–1945)

2011

Leipzig hatte sich unter Debye , Heisenberg und Hund seit 1927/28 zu einem international fuhrenden Zentrum der Quantenmechanik in Deutschland entwickelt. Als Professor in Leipzig beteiligte sich van der Waerden an ihrem quantenmechanischen Seminar, publizierte zur Quantenmechanik und regte quantenmechanische Forschung an. Diese Tatigkeiten im Bereich der mathematischen Physik scheinen zwar angesichts seines breiten Forschungsspektrums in Leipzig eher unbedeutend, waren jedoch zusammen mit seinen Untersuchungen im Bereich der angewandten Mathematik eine wichtige Voraussetzung fur seinen weiteren beruflichen Werdegang. Van der Waerdens Professur in Leipzig fiel teilweise in die Zeit der natio…

Zum Umgang mit Slaters gruppenfreier Methode

2011

Im Juni 1929 reichte der junge amerikanische Physiker John Clarke Slater eine Arbeit mit dem Titel „ The theory of complex spectra“ bei der Zeitschrift The Physical Reviews ein. Er behandelte darin die Multiplettaufspaltung der Spektren von Atomen mit mehreren Elektronen unter Berucksichtigung des Spins und des Pauli-Verbots. Slater ging einerseits auf die qualitative Bestimmung der moglichen Multipletts ein, andererseits auf die Berechnung ihrer Energiewerte. Letzteres war innovativ im engeren Sinne. Zur qualitativen Bestimmung (,Klassifizierung‘) von Multipletts waren zu diesem Zeitpunkt ein von der ,alten‘ Quantenmechanik stammender Ansatz und eine gruppentheoretische Methode, die auf de…

Rückwirkung auf die Mathematik Der Casimiroperator

2011

Das Aufkommen von gruppentheoretischen Methoden in der Quantenmechanik hatte nicht nur Auswirkungen auf die Entwicklung der Quantenmechanik, sondern es ergaben sich auch Ruckwirkungen auf die Entwicklung der Gruppentheorie. Als Beispiel fur letzteres wird im Folgenden die gemeinsame Arbeit von Casimir und van der Waerden zur vollen Reduzibilitat der halbeinfachen Liegruppen angefuhrt, welche den gewunschten, rein algebraischen Beweis dieser bereits 1925 durch Weyl analytisch bewiesenen Eigenschaft erbrachte. Dieser algebraische Beweis, der im Abschnitt 16.3 untersucht wird, beruhte auf dem sogenannten Casimiroperator, der einige Jahre zuvor von Casimir im Rahmen seiner Dissertation konstrui…

Überblick zu van der Waerdens Monographie zur gruppentheoretischen Methode in der Quantenmechanik

2011

Dieses Kapitel bietet einen kurzen Uberblick zum Entstehungskontext und Inhalt von van der Waerdens Werk Die gruppentheoretische Methode in der Quantenmechanik, bevor in den nachfolgenden Kapiteln 10 bis 14 eine genauere Analyse von einzelnen Aspekten des Buches erfolgt. Daruber hinaus werden einige mathematisch-physikalische Grundzuge der Quantenmechanik, wie sie van der Waerden in einem einleitenden Kapitel zusammenstellte, zur Verfugung gestellt.