Correction to ?partial spreads in finite projective spaces and partial designs?

Ein revolutionäres Währungssystem

Finite Semi-Symmetric Designs

Semi-symmetric designs generalize Dembowski's semi-planes. We show that - under certain conditions - a finite semi-symmetric design is embeddable in a symmetric design in a natural way.

On the type of partial t-spreads in finite projective spaces

AbstractA partial t-spread in a projective space P is a set of mutually skew t-dimensional subspaces of P. In this paper, we deal with the question, how many elements of a partial spread L can be contained in a given d-dimensional subspace of P. Our main results run as follows. If any d-dimensional subspace of P contains at least one element of L, then the dimension of P has the upper bound d−1+(d/t). The same conclusion holds, if no d-dimensional subspace contains precisely one element of L. If any d-dimensional subspace has the same number m>0 of elements of L, then L is necessarily a total t-spread. Finally, the ‘type’ of the so-called geometric t-spreads is determined explicitely.

On Baer subspaces of finite projective spaces

On n–Fold Blocking Sets

An n-fold blocking set is a set of n-disjoint blocking sets. We shall prove upper and lower bounds for the number of components in an n-fold blocking set in projective and affine spaces.

Reguläre Körper — ein antikes Schönheitsideal

Was ein regulares n-Eck ist, weis wahrscheinlich jeder. Es gibt regulare Dreiecke (das sind die gleichseitigen Dreiecke), regulare Vierecke (die Quadrate), regulare Funfecke, Sechsecke, usw. Fur jede naturliche Zahl n ≥ 3 gibt es ein regulares n-Eck. Jahrtausendeland haben sich die Mathematiker damit beschaftigt, zu erforschen, welche davon mit Zirkel und Lineal allein zu konstruieren sind. Damit wollen wir uns aber hier nicht beschaftigen; unser Ziel soll vielmehr sein, zu sehen, was den regularen n-Ecken im Raum entspricht. Die entsprechenden Gebilde werden wir regulare Korper nennen.

On a-semiaffine planes with invisible lines

Partial spreads in finite projective spaces and partial designs

A partial t-spread of a projective space P is a collection 5 p of t-dimensional subspaces of P of the same order with the property that any point of P is contained in at most one element of 50. A partial t-spread 5 p of P is said to be a t-spread if each point of P is contained in an element of 5P; a partial t-spread which is not a spread will be called strictly partial. Partial t-spreads are frequently used for constructions of affine planes, nets, and Sperner spaces (see for instance Bruck and Bose [5], Barlotti and Cofman [2]). The extension of nets to affine planes is related to the following problem: When can a partial t-spread 5 ~ of a projective space P be embedded into a larger part…

Finite semiaffine linear spaces

Blocking sets and partial spreads in finite projective spaces

A t-blocking set in the finite projective space PG(d, q) with d≥t+1 is a set $$\mathfrak{B}$$ of points such that any (d−t)-dimensional subspace is incident with a point of $$\mathfrak{B}$$ and no t-dimensional subspace is contained in $$\mathfrak{B}$$ . It is shown that | $$\mathfrak{B}$$ |≥q t +...+1+q t−1√q and the examples of minimal cardinality are characterized. Using this result it is possible to prove upper and lower bounds for the cardinality of partial t-spreads in PG(d, q). Finally, examples of blocking sets and maximal partial spreads are given.

Embedding linear spaces with two line degrees in finite projective planes

In this paper we shall classify all finite linear spaces with line degrees n and n-k having at most n2+n+1 lines. As a consequence of this classification it follows: If n is large compared with k, then any such linear space can be embedded in a projective plane of order n−1 or n.

On t-covers in finite projective spaces

A t-cover of the finite projective space PG(d,q) is a setS of t-dimensional subspaces such that any point of PG(d,q) is contained in at least one element ofS. In Theorem 1 a lower bound for the cardinality of a t-coverS in PG(d,q) is obtained and in Theorem 2 it is shown that this bound is best possible for all positive integers t,d and for any prime-power q.

Embedding of partial spreads in spreads

A Common Characterization of Finite Projective Spaces and Affine Planes

Let S be a finite linear space for which there is a non-negative integer s such that for any two disjoint lines L, L' of S and any point p outside L and L' there are exactly s lines through p intersecting the two lines L and L'. We prove that one of the following possibilities occurs: (i) S is a generalized projective space, and if the dimension of S is at least 4, then any line of S has exactly two points. (ii) S is an affine plane, an affine plane with one improper point, or a punctured projective plane. (iii) S is the Fano-quasi -plane.

On the parameters of strongly resolvable designs

We prove a series of inequalities among the parameters of a strongly resolvable design. By means of examples it is shown that these inequalities are best possible.

Wie findet man aus einem Labyrinth wieder heraus? oder Mathematik ersetzt den Ariadnefaden

Irrgarten und Labyrinthe haben von jeher die Menschen fasziniert. Die altesten Labyrinthdarstellungen sind etwa 6 000 Jahre alt. Beruhmt ist die Sage von Theseus, der den in einem Labyrinth hausenden Minotaurus toten sollte. Zur Sicherung des Ruckwegs gab ihm Ariadne eine Rolle Garn mit; an dem ausgelegten Faden sich orientierend war es fur Theseus dann kein Problem mehr, wieder aus dem Labyrinth herauszukommen. Die folgende Abbildung dieser Geschichte wurde in Pompeji entdeckt. (Aus diesem einfachen Labyrinth hatte Theseus ubrigens auch ohne Ariadnefaden wieder herausgefunden.)*

A generalization of Dembowski's theorem on semi-planes

Zur Vervollst�ndigung von Dreiecksr�umen

Simsalabim und Abrakadabra oder Hinter manchem Hokuspokus steckt nur simple Mathematik

Man kann grundsatzlich zwei Sorten von Zauberkunststucken unterscheiden. Die weitaus bekannteste Art ist die Sorte von Zaubereien, bei denen Naturgesetze oder Gesetze der Logik scheinbar(!) auser Kraft gesetzt werden; man denke etwa an die schwebende Jungfrau. Es gibt aber auch solche Kunststucke, durch die der Zuschauer erst auf ein erstaunliches Gesetz der Natur oder der Mathematik hingewiesen wird. Einige wenige solcher Kunststucke sollen hier vorgefuhrt werden. Man konnte vermuten, das diese Tricks vollkommen trivial und langweilig sind (insbesondere, wenn man die Erklarung kennt); meine Erfahrung zeigt aber, das man auch mit solchen Kunststucken einen grosen Effekt erzielen kann. Man b…

Weißt du, wieviel Geraden gehen ...?

Man pflegt sich Sternbilder gewohnlich so zu merken, das man sich die zugehorigen Sterne durch einige Verbindungslinien strukturiert vorstellt. Dabei zieht man allerdings nur einen ganz geringen Prozentsatz aller denkbaren Verbindungsgeraden in Betracht. Wurde man namlich alle moglichen Verbindungsgeraden einzeichnen, so sahe das ‚Sternbild ‘ziemlich unubersichtlich aus. Wenn man dann noch gefragt wurde, wieviele Geraden denn hier eingezeichnet sind, wird man wohl ziemlich bald argerlich — spatestens dann, wenn man sich zum wiederholten Mal verzahlt hat.

Finite linear spaces in which any n-gon is euclidean

Abstract An n-gon of a linear space is a set S of n points no three of which are collinear. By a diagonal point of S we mean a point p off S with the property that at least two lines through p intersect S in two points. The number of diagonal points is called the type of S. For example, a 4-gon has at most three diagonal points. We call an n-gon euclidean if (roughly speaking) it contains the maximal possible number of 4-gons of type 3. In this paper, we characterize all finite linear spaces in which, for a fixed number n ⩾ 5, any n-gon is euclidean. It turns out that these structures are essentially projective spaces or punctured projective spaces.

Sieben Ritter freien um eine Prinzessin. Ein Märchen

Ein Konig hatte eine Tochter Beatrix mit Namen, die war uber alle Masen schon. Es traf sich, das gerade sieben Ritter um ihre Hand anhielten. Aber die Prinzessin wollte sich nicht auf den ersten Augenschein verlassen und sah sich auserstande, unter diesen sieben den edelsten zu wahlen. Desgleichen stellt auch ihr Vater, der Konig, fest, das alle sieben Bewerber gut beleumundet und in allen Rittertugenden tuchtig waren.

Embedding finite linear spaces in projective planes, II

Abstract It is shown that a finite linear space with maximal point degree n + 1 can be embedded in a projective plane of order n, provided that the line sizes are big enough.

Induktion — ein Zauberstab zur Lösung vieler Probleme

Induktion (manchmal auch „vollstandige“ oder „mathematische“ Induktion genannt) ist das mit Abstand wichtigste mathematische Werkzeug. Diese Methode ist die erste, die nicht so unmittelbar einleuchtet wie die elementaren ‚Techniken ‘Zahlen, Messen, Sortieren, Erkennen von Symmetrien, usw. Historisch gesehen wurde die Induktion auch erst ziemlich spat entdeckt; besser gesagt: erst relativ spat war ein Bedurfnis vorhanden, diese Methode zu formalisieren.

Parallelismen in unendlichen projektiven R�umen endlicher Dimension

Die Vermutung von SYLVESTER oder Wie „Unlösbares“ gelöst wurde

Der Brite James Joseph Sylvester gehort zu den bedeutendsten Mathematikern des 19. Jahrhunderts. Wir wollen uns hier mit einem Problem befassen, das von Sylvester gestellt wurde. Es gehort sicherlich nicht zu den ‚grosen ‘Werken Sylvesters (zumal er dieses Problem nur stellte und nicht loste). Fur uns ist es aus zwei Grunden interessant: Erstens hat dieses Problem eine wunderschone Losung, und zweitens werden wir im folgenden Kapitel eine hubsche Anwendung kennenlernen.

Toto spielen mit System oder Wie verliere ich beim Wetten möglichst wenig?

Wer beim (Fusball-)Toto sein Geld einsetzt, mochte (moglichst viel) Geld gewinnen. Dazu mus man die Resultate moglichst vieler der von der Totogesellschaft ausgewahlten Spiele richtig vorhersagen (1 = Sieg der Heimmannschaft, 2 = Auswartssieg, 0 = Unentschieden). Am besten ist es naturlich, alle Spiele richtig vorhergesagt zu haben (in Deutschland mus man zur Zeit 11 Ergebnisse tippen). Man gewinnt aber in der Regel noch etwas, wenn man nur ein Spiel falsch getippt hat. Manchmal gibt es besonders unerwartete Spielausgange, z. B. am ersten Spieltag oder im Karneval, wenn die Mannschaften verruckt spielen; unter solchen Umstanden wird auch noch fur den 3. Rang (= Tippreihen mit zwei Fehlern) …

Partitions of finite vector spaces: An application of the frobenius number in geometry

Embeddings in strongly resolvable designs

Wer zählt die Völker, nennt die Namen? oder Die EULERsche Polyederformel

Nachdem wir im Abschnitt uber Induktion die Lander gewisser Landkarten gefarbt haben, wollen wir diese Lander nun zahlen. Wir werden eine auserordentlich nutzliche Formel herleiten, die auf den grosen Mathematiker L. Euler (1707–1783) zuruckgeht. Diese „Eulersche Polyederformel“ stellt einen Zusammenhang zwischen den Anzahlen der Lander, Grenzen und „Ecken“ einer beliebigen Landkarte her.

On extremal intersection numbers of a block design

K.N. Majumdar has shown that for a 2-(v, k, @l) design D there are three numbers @a, @t, and @S such that each intersection number of D is not greater than @S and not less than max{@a, @t}. In this paper we investigate designs having one of these 'extremal' intersection numbers. Quasisymmetric designs with at least one extremal intersection number are characterized. Furthermore, we show that a smooth design D having the intersection number @S or @a>0 is isomorphic to the system of points and hyperplanes of a finite projective space. Using this theorem, we can characterize all smooth strongly resolvable designs.

Noch mehr kariertes Papier

In diesem Abschnitt wollen wir einige Anwendungen der im vorigen Abschnitt bewiesenen Formel von Pick herleiten.

Wir begeben uns aufs glatte Parkett oder Mathematik zu unseren Füßen

Was ein Parkett (manchmal auch Mosaik oder Pflasterung genannt) ist, wird angesichts der Zeichnungen in Bild 6-1 keinem mehr unklar sein konnen.