Die 230 Raumgruppen

Fur die ternaren Punktgruppen H(Г) verwenden wir die Bezeichnungen von 12.7 und 12.10. Es sei e1,e2,e3 die ℤ -Basis des zu H gehorigen Untergitters Г{H}, vgl. 12.2. Mit der Schreibweise $$ A \in {\mkern 1mu} S(\Gamma _{4}^{M}) $$ drucken wir aus, das \( S(\Gamma _{4}^{M}) \) die Viererdrehung enthalt, welche bezuglich e1,e2,e3 die Matrix \( \left( {\mathop{{{\text{ }}1}}\limits_{0}^{0} \mathop{{{\text{ }}0}}\limits_{0}^{{ - 1}} \mathop{{{\text{ }}0}}\limits_{1}^{0} } \right) \) besitzt, vgl. 12.3.

�ber die Reduktion von Permutationsmoduln

A matrix of combinatorial numbers related to the symmetric groups

For permutation groups G of finite degree we define numbers t"B(G)=|G|^-^[email protected]?"R"@?"[email protected]?"1(1a"1(g))^b^"^i, where B=(b"1,...,b"1) is a tuple of non-negative integers and a"1(g) denotes the number of i cycles in the element g. We show that t"B(G) is the number of orbits of G, acting on a set @D"B(G) of tuples of matrices. In the case G=S"n we get a natural interpretation for combinatorial numbers connected with the Stiring numbers of the second kind.

Die Reduktionsbedingungen für Ternäre Quadratische Formen

Die Arithmetische Und Die Geometrische Äquivalenz Von Punktgruppen

Es sei G ≦ S (Г) fur ein Gitter Г des reellen Hilbertraums V, dim V = n. Ordnet man G die Matrizengruppe bezuglich einer Gitterbasis von Г zu, so erhalt man eine Bijektion zwischen den arithmetischen Kristallklassen von V und den Konjugiertenklassen endlicher Untergruppen von GL(n,ℤ).

Über die Schnittzahlen mehrfach balancierter blockpläne

Abstract For a finite incidence structure D with a set X of blocks let [ X ] be the number of points common with all blocks contained in X . We define the functions M(t)(B1,…; B1)=ΣB [B1, B]…[B1,B], and, for every partition ϖ = ϖ1,…,ϖ1) of t, the function Mϖ(B1,…,B1) = Σ Πm [Bi | i ϵ Rm], sum over all decompositions {l, …, t} = R1, ⊃ … ⊃ Rl, |Rm| = ϖm. We show: If D is t-fold balanced, then M(t) = Σϖ cϖMϖ, where the, coefficients cϖ are linear combinations of the parameters b1,…,bt, the constant numbers of blocks through any l,…, t distinct points. Conversely, if the rank of the b × b-matrix ([B, B∗])B,B∗ is equal to the number ν of points and M(t) is a rational linear combination of the fu…

Die Diskreten Bewegungsgruppen der Ebene

Die diskreten Bewegungsgruppen der Ebene dienen zur Beschreibung der Symmetrieeigenschaften von Flachenornamenten. Diese Gruppen sollen hier zunachst vollstandig aufgezahlt werden, die Beweise behandeln wir an spaterer Stelle.

Die Arithmetischen Kristallklassen und Gitter (Bravaisgitter) des 3-Dimensionalen Raumes

Wir untersuchen in diesem Paragraphen, wie die in 10.2 beschriebenen 32 kristallographischen Punktgruppen auf ternaren Gittern operieren. Als Klassifikationsbegriff dient uns dabei die in 6.9c) definierte arithmetische Aquivalenz von Punktgruppen, welche die geometrische Aquivalenz, wie wir in 11.3 fur beliebige Dimensionen gesehen haben, verfeinert: Aus den 32 geometrischen Kristallklassen werden 73 arithmetische Klassen. Dabei stellt sich auch heraus, das es 14 arithmetisch inaquivalente Bravaisgruppen (Gitter) gibt.

Die 17 Ornamentgruppen

Fur die 5 Netze der Ebene V und ihre Symmetrien verwenden wir die Bezeichnungen von 7.7 – 7.9. Es sei v1,v2 die Netzbasis, auf die sich die Matrizen in 7.7 beziehen. Die Ornamentgruppen G beschreiben wir durch Angabe einer Funktion v:H→V, wo H(Г) die Punktgruppe von G ist, vgl. 6.15. Wenn klar ist, welche Punktgruppe gemeint ist, setzen wir L = L(H, Г).

Irreduzible Darstellungen Von Raumgruppen

Es sei G eine Gruppe, weiter sei Φ ein komplexer HiIbertraum endlicher Dimension. Ein Homorphismus D von G in die unitare Gruppe U(Φ) = {A ∈ GL(Φ)∣ AtA = E} von Φ heist eine unitare Darstellung von G.

Tensorprodukte von Charakteren der symmetrischen Gruppe

Die Symmetrien Von Kristallen

Die in der Natur vorkommenden oder vom Menschen hergestellten anorganischen und organischen Festkorper sind im Normalfall kristallin, bestehen also aus mehr oder weniger grosen Systemen, innerhalb derer die atomaren Bausteine regelmasig zusammengesetzt sind. Daneben gibt es auch amorphe Korper, deren Atomverteilung wie die der Flussigkeiten und Gase keine Fernordnung aufweist. Fur ideale Einkristalle jedoch herrscht vollkommene Ordnung, die durch keinerlei Storfaktoren unterbrochen ist und sich in Gedanken nach allen Richtungen hin ins Unendliche fortsetzen last.

Diskrete Untergruppen Von AU(n, $$ \mathbb{C} $$ )

Wie wir in 3.5 gesehen haben, ist die Punktgruppe einer diskreten Bewegungsgruppe nicht notwendig endlich. Ein Satz von Frobenius, der in diesem Abschnitt bewiesen werden soll, besagt jedoch, das eine diskrete Bewegungsgruppe stets einen abelschen Normalteiler besitzt, dessen Index endlich ist und eine nur von der Dimension des Raumes abhangige Schranke nicht uberschreitet. Da in dem Frobeniusschen Beweis Eigenwerte betrachtet werden, ist es zweckmasig, Bewegungen von komplexen Hilbertraumen zu untersuchen. Wir studieren zunachst die Punktgruppen, also die Untergruppen der Gruppe U(n,\( \mathbb{C} \)) aller unitaren (n,n)-Matrizen.

Endliche Untergruppen Von GL(n,ℤ)

Der Satz 4.7 von Jordan und Frobenius liefert eine Abschatzung fur die Ordnung endlicher Untergruppen von GL(n,ℂ), welche keinen abelschen Normalteiler ≠ {E} besitzen. Wir wollen in diesem Abschnitt zeigen, das fur die Ordnung einer endlichen Untergruppe von $$ GL(n,\mathbb{Z}) = \{ {({x_{{ij}}})_{{1\underline \leqslant i,j\underline \leqslant n}}}|{x_{{ij}}} \in \mathbb{Z},\det ({x_{{ij}}}) = \pm 1\} $$ sehr viel genauere Aussagen gelten. Daruber hinaus lassen sich diese Gruppen mit den Untergruppen von GL(n,GF(p)) in Zusammenhang bringen.

Elementarteiler von Inzidenzmatrizen symmetrischer Blockpläne

By a study of the integral code generated by the rows of the incidence matrix and its extention the following results are obtained: Let d 1,...,d V(d 1|d 2,d 2|d 3...) be the elementary divisors of the incidence matrix of a symmetric (v,n+λ, λ) design. Then d v=(n+λ)n/g.c.d. (n, λ). Moreover, if p is a prime such that p|n, p∤λ and if x p denotes the p-part of x, then (d idv+2−i) p =n p for 2≤i≤v. For projective planes it can be shown that d 1=···=d 3n−2=1, hence $$d_{n^2 - 2n{\text{ }} + {\text{ }}5} {\text{ }} = \cdots = d_{n^2 + n} = n$$ and $$d_{n^2 - n{\text{ }} + {\text{ }}1} = (n + 1)n$$ . The paper also contains some results about elementary divisors of incidence matrices G satisfyin…

�ber Charaktere mehrfach transitiver Gruppen

Erweiterungen Von Gruppen

Es sei G eine Raumgruppe mit dem Translationengitter Г und der Punktgruppe H. Nach 1.14b) ist dann Hv ∈ fu alle H ∈ H und v ∈ Г

Über den vertauschungsring von permutationsgruppen

Die Endlichen Orthogonalen Gruppen des Dreidimensionalen Raumes

Es sei V der 3-dimensionale Raum. Eine Untergruppe G von SO(V) heist reduzibel, wenn es ein v ∈ V, ≠ 0 mit Gv ∈ fur alle G ∈ G gibt. Andernfalls heist G irreduzibel.

Die 32 Geometrischen Kristallklassen und Ihre Bedeutung in der Kristallphysik

Es seien G und G* kristallographische Punktgruppen des 3-dimensionalen Raumes V. Wir sagen, das G und G* derselben (geometrischen) Kristallklasse angehoren, wenn sie geometrisch aquivalent (G ≙ G*) sind.

Raumgruppen, Deren Punktgruppen Eine Gitterbasis Permutieren

Raumgruppen, deren Punktgruppen auf einer Gitterbasis als zyklische, symmetrische oder alternierende Gruppe operieren, werden von J.J. Burckhardt in § 26 seines Buches: „Die Bewegungsgruppen der Kristallographie“, Basel 1947 und 1966, behandelt. Wir leiten hier diese Aussagen aus einem Satz von Shapiro her. Die Bezeichnungen seien wie in 6.13–6.15.

Netze Und Punktgruppen der Ebene

In der Zahlentheorie interessiert man sich nicht nur fur die kristallographischen Punktgruppen, also die endlichen, ganzzahligen Matrizengruppen, sondern man mochte eine moglichst genaue Kenntnis von den samtlichen reduzierten Basen erhalten, die in einem Gitter gegebenen Ranges existieren. Fur die Dimensionen 2 und 3, wo die Ergebnisse durch Arbeiten von Gaus, Seeber und Dirichlet besonders vollstandig sind, ist es zweckmasig den Begriff der reduzierten Basis, der fur beliebige Dimensionen definiert ist, geringfugig abzuandern.