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AUTHOR
Peter Van Dongen
Lagrange-Formulierung der Mechanik
In diesem Kapitel und dem nachsten zeigen wir, dass die Newton’sche Mechanik und die Spezielle Relativitatstheorie, die wir in den Kapiteln [2-4] bzw. [5] kennengelernt haben, kompakter, eleganter und effizienter formuliert werden konnen. Diese kompakte Umformulierung wird als die Analytische Mechanik bezeichnet. Sie existiert in zwei Varianten, die beide ihre spezifischen Vorteile haben, namlich in der Formulierung von Lagrange, die in diesem Kapitel behandelt wird, und in der Formulierung von Hamilton, der das nachste Kapitel gewidmet ist.
Integration und Integrale
Auch die Integration gehort eindeutig zu den Grundrechenarten der Naturwissenschaften und insbesondere der Physik, und zwar aus verschiedenen Grunden. So ist sie die Umkehrung der Differentiation, fuhrt also auf die Funktion, deren Ableitung gleich einer vorgegebenen Funktion ist. So informiert uns z.B. die Zeitintegration bei vorgegebener Beschleunigung uber die Geschwindigkeit und bei vorgegebener Geschwindigkeit uber den Aufenthaltsort. Diese Art der Integration uber eine einzelne reelle Variable hat auch eine geometrische Interpretation, namlich als die Bestimmung der Flache unter einer vorgegebenen Kurve.
Die statistischen Gesamtheiten
Bisher verfugen wir nur uber eine allgemeine Beziehung zwischen dem Dichteoperator \( \widehat{{\varrho }} \) und der Entropie – die genaue Form von \( \widehat{{\varrho }} \), d. h. die genaue Verteilung der statistischen Gewichte im Gleichgewicht uber die verschiedenen Mikrozustande, ist bislang unbekannt. Wir zeigen nun, dass der Dichteoperator sofort aus dem zentralen Postulat (3.19) der Statistischen Physik und den Prinzipien der Thermodynamik folgt. Das Ergebnis hangt selbstverstandlich entscheidend von den auseren Bedingungen ab, denen das System ausgesetzt ist.
Orbital-selective Mott Transitions in a Doped Two-band Hubbard Model
We extend previous studies on orbital-selective Mott transitions in the paramagnetic state of the half-filled degenerate two-band Hubbard model to the general doped case, using a high-precision quantum Monte Carlo dynamical mean-field theory solver. For sufficiently strong interactions, orbital-selective Mott transitions as a function of total band filling are clearly visible in the band-specific fillings, quasiparticle weights, double occupancies, and spectra. The results are contrasted with those of single-band models for similar correlation strengths.
Folgen, Reihen und Rekursionen
In den Naturwissenschaften stehen Messergebnisse im Mittelpunkt, die immer als reelle (oder in Spezialfallen auch als rationale oder naturliche) Zahlen darstellbar sind, und naturlich auch die mathematischen Modelle zur Beschreibung solcher Messergebnisse. Diese Messergebnisse hangen in der Regel von Parametern ab, haufig zum Beispiel von der physikalischen Grose „Zeit“: In diesem Fall erhalt man eine Zeitreihe. Misst man also eine Messgrose fur verschiedene Werte eines solchen Parameters, wie z.B. der Zeit, so erhalt man einen Satz Zahlenwerte, der nach den Werten des ausgewahlten Parameters geordnet ist. Dieser geordnete Satz Zahlenwerte wird als Zahlenfolge oder auch einfach als Folge be…
Abgeschlossene mechanische Systeme
Thema dieses Kapitels ist die Dynamik abgeschlossener mechanischer Systeme, also die Dynamik von Systemen, die in hinreichend guter Naherung frei von auseren Einflussen sind und beobachterunabhangigen (Galilei-kovarianten) physikalischen Gesetzen gehorchen. Wir untersuchen zuerst in den Abschnitten [3.1] und [3.2] die allgemeinen Eigenschaften solcher Systeme und behandeln anschliesend einige wichtige Anwendungen. Besonders relevant fur die Praxis sind hierbei das Zweiteilchenproblem und die Untersuchung der Gitterschwingungen, die in den Abschnitten [3.3] bzw. [3.8] behandelt werden.
Der starre Körper
In diesem abschliesenden Kapitel befassen wir uns mit ausgedehnten physikalischen Korpern, die dadurch ausgezeichnet sind, dass sie (in hinreichend guter Naherung) nicht deformiert werden und daher insbesondere auch keine inneren Schwingungen aufweisen. Solche Korper werden als starr bezeichnet. Starre Korper existieren allerdings nur in nicht-relativistischer Naherung, denn wir wissen bereits aus Kapitel [5] und Anhang C, dass sie mit den Annahmen der Relativitatstheorie unvertraglich sind. Auch in nicht-relativistischer Naherung sind sie nur approximativ realisiert, da jeder Korper streng genommen immer in gewissem Umfang innere Schwingungen (Phononen und Schallwellen) aufweist.
Hamilton-Formulierung der Mechanik
Die Behandlung des Lagrange-Formalismus im vorigen Kapitel hat gezeigt, dass man die Dynamik komplizierter wechselwirkender Vielteilchensysteme in auseren Kraftfeldern auch dann, wenn diese Systeme Zwangsbedingungen unterworfen sind, vollstandig mit Hilfe einer einzelnen skalaren Lagrange-Funktion L(q, q, t) beschreiben kann. Fur nahezu alle praktischen Zwecke ist die Lagrange-Theorie vollig ausreichend und wegen ihrer einfachen Struktur und ihrer direkteren Verbindung zur Newton’schen Theorie dem in diesem Kapitel zu behandelnden (und grundsatzlich aquivalenten) Hamilton-Formalismus vorzuziehen. Dennoch ist auch – wie bereits in Abschnitt [6.1] erklart – die Hamilton’sche Formulierung der …
Dynamical mean-field theory versus second-order perturbation theory for the trapped two-dimensional Hubbard antiferromagnet
In recent literature on trapped ultracold atomic gases, calculations for two-dimensional (2D) systems are often done within the dynamical mean-field theory (DMFT) approximation. In this paper, we compare DMFT to a fully 2D, self-consistent second-order perturbation theory for weak interactions in a repulsive Fermi-Hubbard model. We investigate the role of quantum and of spatial fluctuations when the system is in the antiferromagnetic phase, and find that, while quantum fluctuations decrease drastically the order parameter and critical temperatures, spatial fluctuations only play a noticeable role when the system undergoes a phase transition, or at phase boundaries in the trap. We conclude f…
Orbital-selective Mott transitions in a doped two-band Hubbard model with crystal field splitting
We investigate the effects of crystal field splitting in a doped two-band Hubbard model with different bandwidths within dynamical mean-field theory (DMFT), using a quantum Monte Carlo impurity solver. In addition to an orbital-selective Mott phase (OSMP) of the narrow band, which is adiabatically connected with the well-studied OSMP in the half-filled case without crystal field splitting, we find, for sufficiently strong interaction and a suitable crystal field, also an OSMP of the wide band. We establish the phase diagram (in the absence of magnetic or orbital order) at moderate doping as a function of interaction strength and crystal field splitting and show that also the wide-band OSMP …
Einführung und Motivation
Die Lehrbuchdefinition der Klassischen Mechanik, etwa als „Zweig der Physik, der sich mit der Bewegung physikalischer Korper befasst“ [1], wird der enormen historischen, kulturellen und philosophischen Bedeutung der Mechanik und ihrem Anwendungspotential in Wissenschaft und Technik wohl kaum gerecht.
Funktionen mehrerer Veränderlicher
In den Naturwissenschaften hangen viele Messgrosen nicht von einer einzelnen, sondern von mindestens vier Variablen ab, namlich vom Ort, an dem sie gemessen werden, und vom Zeitpunkt der Messung. Konkret hangen solche Messgrosen also (zumindest) von drei Ortsvariablen (x1, x2, x3) = x und einer Zeitvariablen t, also insgesamt von vier Variablen (x, t) ab. Beispiele solcher Messgrosen sind Kraftfelder, Stromdichten, Konzentrationen, Populationsdichten und so weiter. Folglich wurde man Ladungs- oder Massendichten mit Hilfe einer Funktion ρ(x, t) von vier Variablen beschreiben. Analog hangt auch die Konzentration c(x, t) einer chemischen Substanz in einer Reaktion (man denke z.B. an Ozon in de…
Orbital-selective Mott transitions in two-band Hubbard models
The anisotropic two-orbital Hubbard model is investigated at low temperatures using high-precision quantum Monte Carlo (QMC) simulations within dynamical mean-field theory (DMFT). We demonstrate that two distinct orbital-selective Mott transitions (OSMTs) occur for a bandwidth ratio of 2 even without spin-flip contributions to the Hund exchange, and we quantify numerical errors in earlier QMC data which had obscured the second transition. The limit of small inter-orbital coupling is introduced via a new generalized Hamiltonian and studied using QMC and Potthoff's self-energy functional method, yielding insight into the nature of the OSMTs and the non-Fermi-liquid OSM phase and opening the p…
Funktionen einer reellen Variablen
Beziehungen zwischen physikalischen Grosen haben in der Regel die Form von Funktionen. Ein typisches Beispiel aus der Praxis ware: „Wenn ich diese Spannung einstelle, messe ich jenen Strom“; in diesem Fall ist der Strom eine Funktion der Spannung. Oder: „Diese Ortskoordinaten und Geschwindigkeiten der Teilchen im System entsprechen jenem Wert der Energie“; die Energie ist dann eine Funktion der Ortskoordinaten und Geschwindigkeiten. Die in physikalischen Problemen auftretenden Funktionen hangen haufig von reellen Variablen ab, es konnen aber durchaus auch komplexe Variable auftreten. Die Funktionen selbst konnen reell oder komplexwertig sein. Haufig hangen physikalisch interessante Funktion…
Postulate und Gesetze der Newton’schen Mechanik
In diesem Kapitel werden die wichtigsten Begriffe der Newton’schen, nicht-relativistischen Mechanik und ihre Postulate erklart, und es wird auch ausfuhrlich auf die Konsequenzen der Postulate fur die mogliche Form physikalischer Gesetze eingegangen. Hierbei versuchen wir, die Postulate in moderner Sprache zu formulieren.
Grundlagen der Statistischen Physik
Nachdem die Vielteilchensysteme im vorigen Kapitel hinsichtlich ihrer makroskopischen Eigenschaften untersucht wurden, widmen wir uns nun der mikroskopischen Begrundung der Thermodynamik. Da die makroskopischen Eigenschaften der Materie letztlich durch ihre atomare Struktur und durch die Wechselwirkungen zwischen den Teilchen auf atomarer Skala bestimmt werden, kommt man nicht umhin, die Physik der Mikrowelt ernst zu nehmen und Vielteilchensysteme im Rahmen der Quantenmechanik zu untersuchen.
Quantum critical point in a periodic Anderson model
We investigate the symmetric Periodic Anderson Model (PAM) on a three-dimensional cubic lattice with nearest-neighbor hopping and hybridization matrix elements. Using Gutzwiller's variational method and the Hubbard-III approximation (which corresponds to the exact solution of an appropriate Falicov-Kimball model in infinite dimensions) we demonstrate the existence of a quantum critical point at zero temperature. Below a critical value $V_c$ of the hybridization (or above a critical interaction $U_c$) the system is an {\em insulator} in Gutzwiller's and a {\em semi-metal} in Hubbard's approach, whereas above $V_c$ (below $U_c$) it behaves like a metal in both approximations. These prediction…
Kurven-, Flächen- und Volumenintegrale
In diesem Kapitel wird die Beschreibung von Funktionen mehrerer Variabler weiterentwickelt, die wir in den Kapiteln [5] und [6] begonnen haben. Ein besonderes Augenmerk richten wir dabei auf die Integration. Wir befassen uns zuerst, in Abschnitt [9.1], mit der Taylor-Entwicklung solcher Funktionen, wobei u.a. auch die Begriffe Funktionalmatrix und Funktionaldeterminante eingefuhrt werden. Hierauf aufbauend werden dann in den Abschnitten [9.2], [9.3] und [9.4] Integrationen uber Kurven, Flachen und Volumina besprochen, wobei stets eine skalare und eine vektorielle Variante zu unterscheiden sind. Die fur physikalische Anwendungen auserst wichtigen Satze von Stokes und Gaus werden bewiesen und…
Vektoren, Matrizen und Determinanten
In diesem Kapitel befassen wir uns mit den Themen Vektoren, Matrizen und Determinanten, die eng miteinander verknupft sind. Die Motivation fur die Untersuchung von Vektoren ist einerseits, dass diese zur Beschreibung der physikalischen Phanomene im Ortsraum – z.B. in der Newton’schen Mechanik – unerlasslich sind, und andererseits, dass Vektoren auch an mehreren Stellen in linearen Gleichungssystemen auftreten. In beiden Anwendungen sind auch Matrizen und Determinanten von zentraler Bedeutung: Im Ortsraum treten sie automatisch in Vektor- und Spatprodukten auf, und die linearen Gleichungssysteme werden geradezu durch Matrizen definiert.