Der Beitrag von Carl Friedrich Gauss Zur Mathematisierung der Verkettungen und Knoten

Es sollte nicht Ziel der Geschichtsschreibung sein, Heldenlegenden zu spinnen und in immer neuen Variationen weiterzugeben. Aber es gibt in der Geschichte der Mathematik Konstellationen, in welchen die Handlungen von Individuen die Handlungsmoglichkeiten spaterer Generationen von Wissenschaftlern masgeblich beeinflusten. Dieses historische Phanomen bedarf selbst der Aufklarung. In welchen Situationen und unter welchen Umstanden konnen Handlungen einzelner Mathematiker diese Tragweite erlangen? Was sind die Mechanismen ihrer Wirkung? Fur die Geschichte der Knotentheorie stellen sich solche Fragen in besonderem Mase fur die Beitrage von Carl Friedrich Gaus, die nicht nur die Mathematisierung …

Geometric Aspects in the Development of Knot Theory

Sackgassen und Neue Wege: Knoten und Zöpfe in der Mathematik des Ausgehenden 19. Jahrhunderts

In diesem Kapitel wird uber einige weitere Entwicklungen gegen Ende des 19. Jahrhunderts berichtet, in denen die Mathematik der Knoten und ahnlicher geometrischer Gebilde zum Thema wurde. Zum einen handelt es sich dabei um Versuche, bereits bekannte mathematische Techniken auf die durch Thomsons Wirbelatomtheorie und Taits erste Schritte zur Knotenklassifikation zu einem potentiellen Forschungsobjekt gewordenen Knoten anzuwenden. Keiner dieser Versuche fuhrte jedoch zu einer dem Tabulationsprojekt vergleichbaren Serie von mathematischen Arbeiten. Zum anderen wurde bemerkt, das gewisse Fragen uber Knoten und knotenahnliche Gebilde auch im Rahmen einer analytischen Geometrie hoherer Dimension…

Did Brouwer’s Intuitionistic Analysis Satisfy Its Own Epistemological Standards?

The aim of this essay is both historical and philosophical. On the histori. level, the following remarks are intended to contribute to a better understanding of the missing reception of the more advanced parts of Luitzen E. J. Brouwer’s intuitionistic mathematics. More precisely, I want to draw attention to a crucial technical difficulty in Brouwer’s treatment of the basic theorems of intuitionistic analysis. It concerns the (intuitionistic) proof of what Brouwer viewed as one of the cornerstones of intuitionistic set theory, the “fan theorem,” as it is often called today. This difficulty most probably presented a serious obstacle to contemporary attempts to understand Brouwer’s contributio…

Topology, Matter, and Space, I: Topological Notions in 19th-Century Natural Philosophy

L'A. montre l'impact de la topologie dans le developpement de la theorie dynamique des phenomenes physiques ainsi que les speculations de la structure topologique de l'espace

Die methematische Moderne und die Herrschaft der Zeichen

Compte-rendu de l'ouvrage de H. Mehrtens intitule «Moderne - Sprache - Mathematik» (1990) qui inaugure le debat historique concernant la definition d'une modernite mathematique, fondee sur le langage des signes. Au-dela d'une analyse du pouvoir du discours mathematique, l'A. ouvre la voie a de nouvelles reflexions sur la dimension culturelle et sociale du debat

From “Mixed” to “Applied” Mathematics: Tracing an important dimension of mathematics and its history

Ein Erstes Paradigma? Knotentheorie Nach 1930

Nachdem Reidemeisters, Artins und Schreiers gruppentheoretische Beitrage einerseits und die homologischen Methoden von Alexander und Briggs andererseits gezeigt hatten, wie berechenbare und erstaunlich aussagekraftige Invarianten von Knoten und Verkettungen konstruiert werden konnten, schienen die Aussichten fur den Aufbau einer selbstandigen Knotentheorie vielversprechend. Dies galt umso mehr, als Reidemeisters und Alexanders Untersuchungen beide nahelegten, Knoten in jener elementaren, kombinatorisch orientierten epistemischen Konfiguration zu studieren, deren Entstehung in den letzten beiden Kapiteln beschrieben wurde. Das neue Gebiet war dadurch fur junge Mathematiker leicht zuganglich,…

Ein Periodisches System der Knoten? Peter Guthrie Tait und die Ersten Knotentafeln

Im Herbst des Jahres 1876 begann Tait ernsthaft damit, sich dem Problem der Knotenklassifikation zuzuwenden. Seine Bemuhungen stehen im Zentrum dieses Kapitels. Zunachst wird kurz Taits Engagement fur Thomsons Wirbelatomtheorie beschrieben, um deutlich zu machen, das er sich Knoten vor allem aufgrund ihrer erhofften Bedeutung fur die Natural Philosophy zuwandte (5.1). Es folgt eine detaillierte Analyse jener Serie von Beitragen zu den Sitzungen der Royal Society of Edinburgh, in welchen Tait sich zum Ziel setzte, eine veritable Theorie der Knoten zu begrunden. Diese Arbeiten entwickelten zwar Techniken, mit denen die Klassifikation der Knotenformen angegangen werden konnte, brachten die Kla…

Der Anbruch Der Mathematischen Moderne und die Disziplinäre Schwelle Der Topologie

Vandermonde verdiente sich seinen Lebensunterhalt zeitweise als Direktor des Pariser Musee des arts et des metiers, Gaus als Direktor der Gottinger Sternwarte. Thomson, Maxwell und Tait arbeiteten als Experimentalphysiker in Labors und als mathematische Physiker an ihrem Schreibtisch. Die Mathematik, die im folgenden betrachtet wird, stammt in aller Regel aus den Handen von Universitatsprofessoren der Mathematik, die in einem wohlorganisierten System wissenschaftlicher Arbeitsteilung ihr Geld verdienten. Von Vandermonde bis Tait stand fest, das die Mathematik der Verkettungen und Knoten es mit Gebilden des Raumes der alltaglichen Erfahrung zu tun hatte; von der Jahrhundertwende an wurden Kn…

Überlagerungen, Homologie und Ein Knotenpolynom: James Waddell Alexander

Als im Jahr 1926 Reidemeisters Artikel uber die ersten berechenbaren Knoteninvarianten erschienen, sah sich ein anderer Mathematiker seiner Prioritat beraubt: der in Princeton arbeitende Topologe James W. Alexander. In der Tat hatte er in einem Vortrag im Jahr 1920 beschrieben, wie die Torsionszahlen von Uberlagerungen der Ausenraume einiger einfacherer Knoten berechnet werden konnten, ohne diese Idee allerdings zu publizieren oder systematisch weiterzuverfolgen. Nun, nach dem Erscheinen von Reidemeisters Aufsatzen, arbeitete er zusammen mit seinem Studenten G. W. Briggs die alten Ideen systematisch aus. Auf diese Weise entstand ein zweiter Zugang zu berechenbaren Knoteninvarianten, der auf…

Poincarésche Räume, Knoten, Gruppen: Max Dehn

Wahrend Heinrich Tietze an seiner Habilitationsschrift arbeitete, dachte Max Dehn weiter uber topologische Fragen nach. Wie Wirtinger und Tietze sties auch er dabei auf Knoten. Allerdings kam es zwischen den Wiener Mathematikern und Dehn zunachst nur zu einem punktuellen Kontakt — beide arbeiteten in verschiedenen hegemonialen Bereichen, wie in den letzten beiden Kapiteln bereits deutlich geworden ist. Auch das Ziel von Dehns Arbeit war anfanglich ganz verschieden von dem Tietzes. Wahrend dieser das durch Poincare umrissene Feld der Topologie zu systematisieren suchte und dabei unter anderem das durch Wirtingers funktionentheoretische Arbeiten entstandene Wissen einarbeitete, hoffte Dehn ei…

Berechenbare Invarianten und Elementare Begründung: Kurt Reidemeister

Nach dem ersten Weltkrieg muste der Faden der mathematischen Beschaftigung mit Knoten neu aufgenommen werden. Wie im letzten Kapitel bereits erwahnt, waren es dabei zunachst Dehns Arbeiten, die von den Mathematikern wahrgenommen wurden. Ein charakteristisches Zeugnis dafur, wie weitgehend unsichtbar die Wiener Beitrage zu geworden waren, gibt ein knapper Kommentar Oswald Veblens, der zu den ersten Mathematikern in den Vereinigten Staaten zahlte, die sich ernsthaft fur die Topologie zu interessieren begannen. In seinen 1922 als Buch erschienenen Cambridge Colloquium Lectures on Analysis Situs schrieb Oswald Veblen zum Thema der Knoten: „A large number of types of knots have been described by…

Branch Points of Algebraic Functions and the Beginnings of Modern Knot Theory

Many of the key ideas which formed modern topology grew out of “normal research” in one of the mainstream fields of 19th-century mathematical thinking, the theory of complex algebraic functions. These ideas were eventually divorced from their original context. The present study discusses an example illustrating this process. During the years 1895-1905, the Austrian mathematician, Wilhelm Wirtinger, tried to generalize Felix Klein's view of algebraic functions to the case of several variables. An investigation of the monodromy behavior of such functions in the neighborhood of singular points led to the first computation of a knot group. Modern knot theory was then formed after a shift in mat…

Der Praktische Umgang Mit Knoten und die Anfänge der Analysis Situs

In diesem Kapitel werden zwei wichtige Voraussetzungen der Mathematisierung des Knotenproblems beschrieben. Zunachst gehe ich auf verschiedene Formen des Wissens ein, das in menschlichen Kulturen uber verschlungene Faden und Linien gesammelt wurde, lange bevor irgend jemand an eine mathematische Behandlung solcher Dinge dachte (2.1). Anschliesend stelle ich dar, wie im 18. Jahrhundert eine Reihe von Mathematikern damit begannen, dem Knotenproblem verwandte Probleme zu mathematisieren, und wie dadurch auch der Boden fur eine mathematische Behandlung verschlungener Kurven im Raum bereitet wurde (2.2).

Ein Anderer Weg in die Mathematische Moderne: Wilhelm Wirtinger, Poul Heegaard und Heinrich Tietze

Dieses Kapitel beleuchtet den Weg, auf dem das Thema der Knoten zuerst ins Zentrum der Aufmerksamkeit einiger Mathematiker des fruhen 20. Jahrhunderts ruckte. Dieser Weg nahm seinen Ausgang weder bei dem systematischen Programm, das Dehn und Heegaard in ihrem Artikel fur die Enzyklopadie der mathematischen Wissenschaften skizzierten, noch bei der Tradition der Knotentabulation im Stile Taits, Kirkmans und Littles. Stattdessen zeigte sich bei der Arbeit an einer anspruchsvollen, in der reinen Mathematik des spaten 19. Jahrhunderts entstandenen Fragestellung aus dem Gebiet der algebraischen Funktionen, das gewisse Knoten und Verkettungen der Schlussel zur gesuchten Antwort waren. Zugleich erg…

Ätherwirbel, Knoten und Atome

In diesem und dem folgenden Kapitel verfolge ich den Weg der Mathematisierung von Knoten und verschlungenen Kurven im Kontext der britischen mathematischen Physik der zweiten Halfte des 19. Jahrhunderts. Fur einen Zeitraum von ungefahr zwanzig Jahren, zwischen 1867 und etwa 1886, gelangten topologische Ideen und Knoten ins Zentrum einer physikalischen Spekulation uber den mikroskopischen Aufbau der Materie. Diese Spekulation bildete den ausschlaggebenden Hintergrund fur die ersten intensiven Bemuhungen um eine Klassifikation der verschiedenen Knotenformen. Daruber wird im nachsten Kapitel berichtet. Zuvor mus jedoch erlautert werden, wie es uberhaupt zu dieser Entwicklung kam. Dazu sind zun…