0000000000173029
AUTHOR
Achim Klenke
showing 35 related works from this author
W-Maße auf Produkträumen
2020
Das kanonische Vorgehen, um zeitliche Verlaufe zufalliger Entwicklungen zu modellieren, ist es, Wahrscheinlichkeitsmase auf Produktraumen zu modellieren. Grob gesprochen, wird zunachst auf einem W-Raum die Startverteilung modelliert. Dann wir auf einem weiteren W-Raum die Verteilung nach einem Zeitschritt, gegeben den Startwert modelliert. Schlieslich wird bei Kenntnis endlich vieler Zustande der nachste Zustand zufallig gegeben die Historie modeliiert. Um den gesamten Prozess auf einem Raum darzustellen, betrachten wir Produkte von W-Raumen und stochastische Kerne zwischen diesen W-Raumen. Der Satz von Ionescu-Tulcea liefert die Existenz eines unendlichen Produktraumes, auf dem der gesamte…
Martingalkonvergenzsätze und Anwendungen
2020
Wir haben Martingale \(X=(X_n)_{n\in N_0}\) als faire Spiele kennen gelernt und festgestellt, dass sie unter gewissen Transformationen (Optionales Stoppen, diskretes stochastisches Integral) wieder zu Martingalen werden. In diesem Kapitel werden wir sehen, dass unter schwachen Bedingungen (Nichtnegativitat oder gleichgradige Integrierbarkeit) Martingale fast sicher konvergieren. Zudem impliziert die Martingalstruktur die L p -Konvergenz schon unter formal schwacheren Annahmen als unter denen, die wir in Kapitel 7 betrachtet haben. Die grundlegenden Ideen dieses Kapitels liegen in der Doob’schen Ungleichung (Satz 11.2) und in der Aufkreuzungsungleichung (Lemma 11.3).
The Itô Integral
2014
The Ito integral allows us to integrate stochastic processes with respect to the increments of a Brownian motion or a somewhat more general stochastic process. We develop the Ito integral first for Brownian motion and then for generalized diffusion processes (so called Ito processes). In the third section, we derive the celebrated Ito formula. This is the chain rule for the Ito integral that enables us to do explicit calculations with the Ito integral. In the fourth section, we use the Ito formula to obtain a stochastic solution of the classical Dirichlet problem. This in turn is used in the fifth section in order to show that like symmetric simple random walk, Brownian motion is recurrent …
Backwards Martingales and Exchangeability
2020
With many data acquisitions, such as telephone surveys, the order in which the data come does not matter. Mathematically, we say that a family of random variables is exchangeable if the joint distribution does not change under finite permutations. De Finetti’s structural theorem says that an infinite family of E-valued exchangeable random variables can be described by a two-stage experiment. At the first stage, a probability distribution Ξ on E is drawn at random. At the second stage, independent and identically distributed random variables with distribution Ξ are implemented.
Grundlagen der Maßtheorie
2020
Im ersten Kapitel werden die Mastheoretischen Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie gebildet. Wir fuhren die Mengensysteme (Semiringe, Ringe, Algebren, \(\sigma\)-Algebren) ein, die eine systematische Betrachtung von Ereignissen und zufalligen Beobachtungen in der Wahrscheinlichkeitstheorie erlauben, und bilden den Begriff des Messraums. Mit Hilfe des Masfortsetzungssatzes konstruieren wir in naturlicher Weise Mase, insbesondere Wahrscheinlichkeitsmase, auf \(\sigma\)-Algebren. Schlieslich betrachten wir Abbildungen zwischen Messraumen und lernen Zufallsvariablen als Spezialfall kennen. Das Kapitel schliest mit einer exemplarischen Behandlung einiger zentraler Wahrscheinlichkeitsverteil…
Momente und Gesetze der Großen Zahl
2020
Die wichtigsten Kenngrosen fur Zufallsvariablen sind Median, Erwartungswert und Varianz. Der Erwartungswert beschreibt fur groses n den typischen ungefahren Wert des arithmetischen Mittels \(\frac{(X_1+\ldots+X_n)}{n}\) von unabhangig und identisch verteilten Zufallsvariablen (Gesetz der Grosen Zahl). In diesem Kapitel wird zunachst das schwache Gesetz der grosen Zahl betrachtet und danach das starke Gesetz der grosen Zahl in der Form von Etemadi vorgestellt. Als Beispiel wird die mittlere Lange zufalliger Nachrichten naher untersucht (Quellenkodierungssatz). Unter zusatzlichen Momentenbedingungen wird die Konvergenzgeschwindigkeit im starken Gesetz der grosen Zahl untersucht. Schlieslich b…
Optional Sampling Theorems
2020
In Chapter 9 we saw that martingales are transformed into martingales if we apply certain admissible gambling strategies. In this chapter, we establish a similar stability property for martingales that are stopped at a random time (optional sampling and optional stopping). In order also to obtain these results for submartingales and supermartingales, in the first section, we start with a decomposition theorem for adapted processes. We show the optional sampling and optional stopping theorems in the second section. The chapter finishes with the investigation of random stopping times with an infinite time horizon.
Convergence of Measures
2020
One focus of probability theory is distributions that are the result of an interplay of a large number of random impacts. Often a useful approximation can be obtained by taking a limit of such distributions, for example, a limit where the number of impacts goes to infinity. With the Poisson distribution, we have encountered such a limit distribution that occurs as the number of very rare events when the number of possibilities goes to infinity (see Theorem 3.7). In many cases, it is necessary to rescale the original distributions in order to capture the behavior of the essential fluctuations, e.g., in the central limit theorem. While these theorems work with real random variables, we will a…
Der Poisson’sche Punktprozess
2020
Poisson’sche Punktprozesse konnen als ein Grundbaustein zur Konstruktion sehr unterschiedlicher stochastischer Objekte verwendet werden, wie etwa unbegrenzt teilbare Verteilungen, Markovprozesse mit komplexer Dynamik, Objekte der stochastischen Geometrie und so fort.
Unbegrenzt teilbare Verteilungen
2020
Die Normalverteilung mit Erwartungswert μ2 und Varianz σ2 lasst sich fur jedes naturliche n als n-te Faltungspotenz eines Wahrscheinlichkeitsmases schreiben (namlich der Normalverteilung mit Erwartungswert \(\mu_n^{*n}\) und Varianz \(\frac{\sigma^2}{n}\). Die selbe Eigenschaft, die wir unbegrenzte Teilbarkeit nennen, hat die Poisson-Verteilung. Im ersten Abschnitt untersuchen wir, welche Wahrscheinlichkeitsmase auf den reellen Zahlen unbegrenzt teilbar sind und geben eine erschopfende Beschreibung der Klasse dieser Mase durch die Levy-Khinchin Formel.
Rückwärtsmartingale und Austauschbarkeit
2020
Bei vielen Datenerhebungen, etwa Telefonumfragen, ist die Reihenfolge, in der die Daten kommen, unerheblich. Mathematisch sprechen wir von austauschbaren Zufallsvariablen, wenn sich die gemeinsame Verteilung unter endlichen Vertauschungen nicht andert. Der Struktursatz fur austauschbare Zufallsvariablen von de Finetti besagt, dass sich eine unendlich grose austauschbare Familie von Zufallsvariablen mit Werten im Raum E als Zweistufenexperiment beschreiben lasst: In der ersten Stufe wird eine zufallige Wahrscheinlichkeitsverteilung \(\Xi\) auf E ausgewurfelt. In der zweiten Stufe werden die Zufallsvariablen unabhangig und identisch nach \(\Xi\) verteilt realisiert.
Konvergenz von Markovketten
2020
Wir betrachten eine Markovkette X mit invarianter Verteilung \(\pi\) und untersuchen unter welchen Bedingungen die Verteilung von X n fur n -> ∞ gegen \(\pi\) konvergiert. Im Wesentlichen ist dafur notwendig und hinreichend, dass der Zustandsraum der Kette nicht in Unterraume zerfallt, die
Stochastic ordering of classical discrete distributions
2010
For several pairs $(P,Q)$ of classical distributions on $\N_0$, we show that their stochastic ordering $P\leq_{st} Q$ can be characterized by their extreme tail ordering equivalent to $ P(\{k_\ast \})/Q(\{k_\ast\}) \le 1 \le \lim_{k\to k^\ast} P(\{k\})/Q(\{k\})$, with $k_\ast$ and $k^\ast$ denoting the minimum and the supremum of the support of $P+Q$, and with the limit to be read as $P(\{k^\ast\})/Q(\{k^\ast\})$ for $k^\ast$ finite. This includes in particular all pairs where $P$ and $Q$ are both binomial ($b_{n_1,p_1} \leq_{st} b_{n_2,p_2}$ if and only if $n_1\le n_2$ and $(1-p_1)^{n_1}\ge(1-p_2)^{n_2}$, or $p_1=0$), both negative binomial ($b^-_{r_1,p_1}\leq_{st} b^-_{r_2,p_2}$ if and on…
Markovketten und elektrische Netzwerke
2020
Es gibt einen naturlichen Zusammenhang zwischen elektrischen Netzwerken und so genannten reversiblen Markovketten – dazu gehort etwa eine Irrfahrt auf einem Graphen, die in jedem Schritt mit gleicher Wahrscheinlichkeit zu einem der Graphennachbarn springt. Dieser Zusammenhang wird hier genauer untersucht. Als Anwendung wird der plausible, aber mit anderen Mitteln nur schwer zu zeigende Satz bewiesen, dass eine solche Graphenirrfahrt auf einem Teilgraphen rekurrent ist, wenn sie bereits auf dem groseren Graphen rekurrent war. Insbesondere ist beispielsweise die Graphenirrfahrt auf dem Perkolationscluster des ebenen Zahlengitters rekurrent.
Lp-Räume und Satz von Radon-Nikodym
2020
In diesem Kapitel untersuchen wir die Raume der Funktionen, deren p-te Potenz integrierbar ist. Wir leiten in Abschnitt 7.2 zunachst wichtige Ungleichungen her (Holder, Minkowski, Jensen) und untersuchen dann in Abschnitt 7.3 den Fall p=2, wo wir Hilbertraume vorliegen haben, im Detail. Neben den genannten Ungleichungen sind die wichtigsten Ergebnisse fur die Stochastik der Zerlegungssatz von Lebesgue sowie der Satz von Radon-Nikodym in Abschnitt 7.4. Der Leser mag beim ersten Lesen die anderen, eher analytisch als stochastisch ausgerichteten, Teile dieses Kapitels uberschlagen.
Infinitely Divisible Distributions
2020
For every n, the normal distribution with expectation μ and variance σ 2 is the nth convolution power of a probability measure (namely of the normal distribution with expectation μ/n and variance σ 2/n). This property is called infinite divisibility and is shared by other probability distributions such as the Poisson distribution and the Gamma distribution. In the first section, we study which probability measures on the real line are infinitely divisible and give an exhaustive description of this class of distributions by means of the Levy–Khinchin formula.
Martingale Convergence Theorems and Their Applications
2020
We became familiar with martingales X=(X n ) n∈N0 as fair games and found that under certain transformations (optional stopping, discrete stochastic integral) martingales turn into martingales. In this chapter, we will see that under weak conditions (non-negativity or uniform integrability) martingales converge almost surely. Furthermore, the martingale structure implies L p -convergence under assumptions that are (formally) weaker than those of Chapter 7. The basic ideas of this chapter are Doob’s inequality (Theorem 11.4) and the upcrossing inequality (Lemma 11.3).
Thin Points of Brownian Motion Intersection Local Times
2005
Let \(\ell \) be the projected intersection local time of two independent Brownian paths in \(\mathbb{R}^d \) for d = 2, 3. We determine the lower tail of the random variable \(\ell \)(B(0, 1)), where B(0, 1) is the unit ball. The answer is given in terms of intersection exponents, which are explicitly known in the case of planar Brownian motion. We use this result to obtain the multifractal spectrum, or spectrum of thin points, for the intersection local times.
Moments and Laws of Large Numbers
2020
The most important characteristic quantities of random variables are the median, expectation and variance. For large n, the expectation describes the typical approximate value of the arithmetic mean (X 1+…+X n )/n of independent and identically distributed random variables (law of large numbers).
Basic Measure Theory
2020
In this chapter, we lay the measure theoretic foundations of probability theory. We introduce the classes of sets (semirings, rings, algebras, σ-algebras) that allow for a systematic treatment of events and random observations. Using the measure extension theorem, we construct measures, in particular probability measures on σ-algebras. Finally, we define random variables as measurable maps and study the σ-algebras generated by certain maps.
L p-Spaces and the Radon–Nikodym Theorem
2020
In this chapter, we study the spaces of functions whose pth power is integrable. In Section 7.2, we first derive some of the important inequalities (Holder, Minkowski, Jensen) and then in Section 7.3 investigate the case p=2 in more detail.
Law of the Iterated Logarithm
2020
For sums of independent random variables we already know two limit theorems: the law of large numbers and the central limit theorem. The law of large numbers describes for large \(n\in \mathbb{N}\) the typical behavior, or average value behavior, of sums of n random variables. On the other hand, the central limit theorem quantifies the typical fluctuations about this average value.
Charakteristische Funktion und Zentraler Grenzwertsatz
2020
Hauptziel dieses Kapitels ist der Zentrale Grenzwertsatz fur Summen unabhangiger Zufallsvariablen (Satz 15.37) und fur unabhangige Schemata (Satz von Lindeberg-Feller, Satz 15.43), wobei wir fur den letzteren nur die eine Richtung beweisen (Satz von Lindeberg).
Convergence of Markov Chains
2020
We consider a Markov chain X with invariant distribution π and investigate conditions under which the distribution of X n converges to π as n→∞. Essentially it is necessary and sufficient that the state space of the chain cannot be decomposed into subspaces that the chain does not leave, or that are visited by the chain periodically; e.g., only for odd n or only for even n.
Infinite rate mutually catalytic branching in infinitely many colonies: The longtime behavior
2012
Consider the infinite rate mutually catalytic branching process (IMUB) constructed in [Infinite rate mutually catalytic branching in infinitely many colonies. Construction, characterization and convergence (2008) Preprint] and [Ann. Probab. 38 (2010) 479-497]. For finite initial conditions, we show that only one type survives in the long run if the interaction kernel is recurrent. On the other hand, under a slightly stronger condition than transience, we show that both types can coexist.
Characteristic Functions and the Central Limit Theorem
2020
The main goal of this chapter is the central limit theorem (CLT) for sums of independent random variables (Theorem 15.37) and for independent arrays of random variables (Lindeberg–Feller theorem, Theorem 15.43). For the latter, we prove only that one of the two implications (Lindeberg’s theorem) that is of interest in the applications.
Markov Chains and Electrical Networks
2020
There is a natural connection between electrical networks and so called reversible Markov chains. An example for such a chain is the symmetric graph random walk which, in each step, jumps to a randomly chosen graph neighbor at equal probability. This connection is studied here in some detail. As an application, we prove the statement that if such a graph random walk is recurrent, then it is recurrent also on each subgraph. (Although this statement is rather plausible, it is hard to show by different means.) In particular, the graph random walk on a percolation cluster of the planar integer lattice is recurrent.
Konvergenz von Maßen
2020
In der Wahrscheinlichkeitstheorie interessiert man sich fur Verteilungen, die durch das Zusammenwirken vieler zufalliger Einflusse zustandekommen. Oftmals lasst sich eine brauchbare Idealisierung erreichen, indem man Grenzwerte solcher Verteilungen anschaut, zum Beispiel, wenn die Anzahl der Einflusse nach Unendlich geht. Ein Beispiel ist die Konvergenz der Anzahl eingetretener Ereignisse bei vielen seltenen Ereignissen gegen die Poisson-Verteilung (siehe Satz 3.7). Vielfach sind aber auch Skalierungen der ursprunglichen Verteilung notwendig, um das wesentliche Fluktuationsverhalten zu erfassen, etwa im Zentralen Grenzwertsatz. Wahrend diese Satze mit reellen Zufallsvariablen auskommen, wer…
Das Ito-Integral
2013
Das Ito-Integral erlaubt es, stochastische Prozesse bezuglich der Zuwachse einer Brown’schen Bewegung oder etwas allgemeinerer Prozesse zu integrieren. Wir entwickeln das Ito-Integral zunachst fur die Brown’sche Bewegung und dann fur verallgemeinerte Diffusionsprozesse (sogenannte Ito-Prozesse). Im dritten Abschnitt leiten wir die Ito-Formel her. Diese Substitutionsformel fur das Ito-Integral erlaubt es, in konkreten Fallen, mit dem Ito-Integral wirklich zu rechnen. Wir wenden die Ito-Formel im vierten Abschnitt an, um eine stochastische Losung des Dirichlet-Problems zu formulieren.
The Poisson Point Process
2020
Poisson point processes can be used as a cornerstone in the construction of very different stochastic objects such as, for example, infinitely divisible distributions, Markov processes with complex dynamics, objects of stochastic geometry and so forth.
Gesetz vom iterierten Logarithmus
2020
Fur Summen unabhangiger Zufallsvariablen kennen wir bislang zwei Grenzwertsatze: das Gesetz der grosen Zahl und den Zentralen Grenzwertsatz. Das Gesetz der grosen Zahl beschreibt fur groses \(n\in N\) das typische oder Mittelwertverhalten von Summen von n Zufallsvariablen, wahrend der Zentrale Grenzwertsatz die typischen Fluktuationen um diesen Mittelwert quantitativ erfasst.
Probability Measures on Product Spaces
2020
In order to model a random time evolution, the canonical procedure is to construct probability measures on product spaces. Roughly speaking, the first step is to take a probability measure that models the initial distribution. In the second step, on a different probability space, the distribution after one time step is modeled. Then in each subsequent step, on a further probability space, the random state in the next time step given the full history is modeled. On a formal level, we consider products of probability spaces and Markov kernels between such spaces. Finally, the Ionescu-Tulcea theorem shows that the whole procedure can be realized on a single infinite product space. Furthermore,…
Die Brown’sche Bewegung
2020
Die Brown’sche Bewegung ist ein zentrales Objekt der Wahrscheinlichkeitstheorie. Grob gesprochen wird eine symmetrische Nachste-Nachbar-Irrfahrt raumlich und zeitlich so skaliert, dass ein zeitstetiger stochastischer Prozess mit stetigen Pfaden und normalverteilten Zuwachsen entsteht. Wir geben verschiedene Konstruktionsprinzipien an: Einmal uber den Satz von der stetigen Modifikation (Kolmogorov-Chentsov) und einmal uber eine Fourierreihenentwicklung mit zufalligen Koeffizienten a la Paley-Wiener bzw. Levy. Schlieslich wird der funktionale Zentrale Grenzwertsatz (Invarianzprinzip) gezeigt, der besagt, dass geeignet reskalierte Partialsummenprozesse von quadratisch integrierbaren Zufallsvar…
Optional Sampling Sätze
2020
In Kapitel 9 haben wir den Stabilitatssatz fur Martingale kennengelernt, der besagt, dass Martingale durch die Anwendung gewisser Spielstrategien wieder in Martingale uberfuhrt werden. Wir untersuchen in diesem Kapitel ahnliche Stabilitatseigenschaften fur zufallig gestoppte Martingale zeigen. Um die Aussagen auch fur Submartingale und Supermartingale zu bekommen, geben wir im ersten Abschnitt einen Zerlegungssatz fur adaptierte Prozesse an. Im zweiten Abschnitt kommen dann die Optional Sampling und Optional Stopping Satze.
Stochastic Differential Equations
2020
Stochastic differential equations describe the time evolution of certain continuous n-dimensional Markov processes. In contrast with classical differential equations, in addition to the derivative of the function, there is a term that describes the random fluctuations that are coded as an Ito integral with respect to a Brownian motion. Depending on how seriously we take the concrete Brownian motion as the driving force of the noise, we speak of strong and weak solutions. In the first section, we develop the theory of strong solutions under Lipschitz conditions for the coefficients. In the second section, we develop the so-called (local) martingale problem as a method of establishing weak so…